تابع $I$ را روی بازه $[0,+ \infty )$ به صورت زیر تعریف کنید:
$I(a) := \int _0^{ \frac{ \pi }{2} } \frac{tan^{-1}(asecx)}{secx} dx \Rightarrow I'(a)=\int _0^{ \frac{ \pi }{2} } \frac{cos^2x}{a^2+cos^2x} dx ($چرا؟$)=\int _0^{ \frac{ \pi }{2} }(1- \frac{a^2}{a^2+cos^2x} )dx$
$= \frac{ \pi }{2}-a^2\int _0^{ \frac{ \pi }{2} } \frac{1}{a^2+cos^2x} dx$
حالا انتگرال اخیر را به راحتی با تغییر متغیر $u=tanx$ می توان به دست آورد.(من مراحل را انجام دادم . به خاطر طولانی بودن فقط نتیجه را می نویسم ):
$I'(a)= \frac{ \pi }{2} (1- \frac{a}{ \sqrt{a^2+1} } )$
$ \Rightarrow I(a)=\frac{ \pi }{2}(a- \sqrt{a^2+1})+C$
از طرفی دیگر:
$I(0)=0 \Rightarrow \frac{ \pi }{2}(0-1)+C=0 \Rightarrow C=\frac{ \pi }{2} \Rightarrow I(a)=\frac{ \pi }{2}(a+1- \sqrt{a^2+1}) $
$\Rightarrow \int _0^{ \frac{ \pi }{2} } \frac{tan^{-1}(2secx)}{secx} dx=I(2)=\frac{ \pi }{2}(3- \sqrt{5} )=\frac{ \pi }{( \frac{1+ \sqrt{5} }{2}) +1}= \frac{ \pi }{ \varphi +1} = \frac{ \pi }{ \varphi ^2} $
$ \Box $
