به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
33 بازدید
در دانشگاه توسط mansour (382 امتیاز)

نشان دهید: $$ \int _0^ \frac{ \pi }{2} \frac{Arctan(2secx)}{secx} dx= \frac{ \pi }{ \varphi ^{2} } $$

توسط mansour (382 امتیاز)

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (2,373 امتیاز)
انتخاب شده توسط mansour
 
بهترین پاسخ

تابع $I$ را روی بازه $[0,+ \infty )$ به صورت زیر تعریف کنید:

$I(a) := \int _0^{ \frac{ \pi }{2} } \frac{tan^{-1}(asecx)}{secx} dx \Rightarrow I'(a)=\int _0^{ \frac{ \pi }{2} } \frac{cos^2x}{a^2+cos^2x} dx ($چرا؟$)=\int _0^{ \frac{ \pi }{2} }(1- \frac{a^2}{a^2+cos^2x} )dx$

$= \frac{ \pi }{2}-a^2\int _0^{ \frac{ \pi }{2} } \frac{1}{a^2+cos^2x} dx$

حالا انتگرال اخیر را به راحتی با تغییر متغیر $u=tanx$ می توان به دست آورد.(من مراحل را انجام دادم . به خاطر طولانی بودن فقط نتیجه را می نویسم ):

$I'(a)= \frac{ \pi }{2} (1- \frac{a}{ \sqrt{a^2+1} } )$

$ \Rightarrow I(a)=\frac{ \pi }{2}(a- \sqrt{a^2+1})+C$

از طرفی دیگر:

$I(0)=0 \Rightarrow \frac{ \pi }{2}(0-1)+C=0 \Rightarrow C=\frac{ \pi }{2} \Rightarrow I(a)=\frac{ \pi }{2}(a+1- \sqrt{a^2+1}) $

$\Rightarrow \int _0^{ \frac{ \pi }{2} } \frac{tan^{-1}(2secx)}{secx} dx=I(2)=\frac{ \pi }{2}(3- \sqrt{5} )=\frac{ \pi }{( \frac{1+ \sqrt{5} }{2}) +1}= \frac{ \pi }{ \varphi +1} = \frac{ \pi }{ \varphi ^2} $

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...