$I:= \int _0^{ \frac{ \pi }{2} } \frac{tan^{-1}(2cos^2 \theta )}{2cos^2 \theta }d \theta $
با تغییر متغیر $x=tan \theta $ داریم:
$dx=(1+tan^2 \theta )d \theta \Rightarrow dx= \frac{d \theta }{cos^2 \theta } $
$ \Rightarrow I= \int _0^ \infty tan^{-1}( \frac{2}{1+x^2})dx=xtan^{-1}( \frac{2}{1+x^2})]_0^ \infty +4 \int _0^ \infty \frac{x^2}{x^4+2x^2+5}dx$
$=0+4 \int _0^ \infty \frac{x^2}{x^4+2x^2+5}dx=4 \int _0^ \infty \frac{x^2}{x^4+2x^2+5}dx$
حالا با تغییر متغیرهای $x=5^{ \frac{1}{4} }u$ و $w= \frac{1}{u} $ نتیجه میگیریم که:
$2I=4 \times 5^{- \frac{1}{4} } \int _0^ \infty \frac{1+ \frac{1}{w^2} }{(w- \frac{1}{w} )^2+ \frac{2}{ \sqrt{5} } +2} dw$(چرا؟)
حالا تغییر متغیر $z=w- \frac{1}{w} $ را به کار ببرید:
$ \Rightarrow I= \frac{ \pi }{ \sqrt{ \varphi } } $(چرا؟)
$ \Box $
