Question

نشان دهید: $$ ( a_{1} + a_{2} + a_{3} +...+ a_{k} )^{2} \leq k( (a_{1} )^{2} + ( a_{2} )^{2} + ( a_{3}) ^{2} +...+ ( a_{k} )^{2} ), a_{k} \in real number $$

Answer 1

نامساوی کوشی-شوارتز را برای دنبالۀ $(a_n)_{n=1}^k$ و دنبالۀ ثابت $1$ بکار ببرید:

$(a_1+a_2+...+a_k)^2=(1.a_1+1.a_2+...1.a_k)^2 \leq (1^2+1^2+...+1^2)(a_1^2+a_2^2+...+a_k^2)$

$(a_1+a_2+...+a_k)^2 \leq k(a_1^2+a_2^2+...+a_k^2)$

تساوی برقرار است اگ و تنها اگر:

$ \frac{a_1}{1} = \frac{a_2}{1} =...= \frac{a_k}{1} \Leftrightarrow a_1=a_2=...=a_k$

$ \Box $