به سادگی می توان نشان داد که:
$ \forall k \in N:2 \sqrt{k+1} -2 \sqrt{k} < \frac{1}{ \sqrt{k} } < 2 \sqrt{k} -2 \sqrt{k-1} $
حالا اگر طرفین همۀ نامساوی ها را از $2$ تا $n$ جمع کنیم داریم:
$2 \sqrt{n} -2 \sqrt{2} < \sum _{k=2}^n \frac{1}{ \sqrt{k} } < 2 \sqrt{n} -2 \Rightarrow 2 \sqrt{n} -2 \sqrt{2}+1 < \sum _{k=1}^n \frac{1}{ \sqrt{k} } < 2 \sqrt{n} -2+1$
حالا چون $2 \sqrt{2} < 3$ و $ \sqrt{n} < \sqrt{n+1} $ می توان نوشت:
$2 \sqrt{n} -2 < \sum _{k=1}^n \frac{1}{ \sqrt{k} } < 2 \sqrt{n} -1$
در این حالت خاص داریم:
$2 \sqrt{80} -2 < \sum _{k=1}^{80} \frac{1}{ \sqrt{k} } < 2 \sqrt{80} -1$
و توجه داریم که:
$2 \sqrt{80} -2>16 \Leftrightarrow \sqrt{80} -1>8 \Leftrightarrow \sqrt{80}>9 \Leftrightarrow 80>81$
$,2 \sqrt{80} -1< 17 \Leftrightarrow 2 \sqrt{80} < 18 \Leftrightarrow \sqrt{80} < 9 \Leftrightarrow 80< 81$
بنابراین می توان نتیجه گرفت که:
$16 < \sum _{k=1}^{80} \frac{1}{ \sqrt{k} } < 17 $
$ \Box $
در حالت کلی اگر $m \geq n$ می توان نوشت:
$2 \sqrt{n+1} -2 \sqrt{m} < \frac{1}{m} + \frac{1}{m+1} +...+ \frac{1}{n} < 2 \sqrt{n} -2 \sqrt{m-1} $