Question

ثابت کنید:

$$16 < \sum _ {k=1}^ {80} \frac{۱}{ \sqrt{k} } < 17 $$ المپیاد ریاضی چین سال ۱۹۹۲ $$\leadsto \sqrt{k} < \sqrt{k+1} $$

Answer 1

به سادگی می توان نشان داد که:

$ \forall k \in N:2 \sqrt{k+1} -2 \sqrt{k} < \frac{1}{ \sqrt{k} } <2 \sqrt{k} -2 \sqrt{k-1} $

حالا اگر طرفین همۀ نامساوی ها را از $2$ تا $n$ جمع کنیم داریم:

$2 \sqrt{n} -2 \sqrt{2} < \sum _{k=2}^n \frac{1}{ \sqrt{k} } <2 \sqrt{n} -2 \Rightarrow 2 \sqrt{n} -2 \sqrt{2}+1 < \sum _{k=1}^n \frac{1}{ \sqrt{k} } <2 \sqrt{n} -2+1$

حالا چون $2 \sqrt{2} <3$ و $ \sqrt{n} < \sqrt{n+1} $ می توان نوشت:

$2 \sqrt{n} -2 < \sum _{k=1}^n \frac{1}{ \sqrt{k} } <2 \sqrt{n} -1$

در این حالت خاص داریم:

$2 \sqrt{80} -2 < \sum _{k=1}^{80} \frac{1}{ \sqrt{k} } <2 \sqrt{80} -1$

و توجه داریم که:

$2 \sqrt{80} -2>16 \Leftrightarrow \sqrt{80} -1>8 \Leftrightarrow \sqrt{80}>9 \Leftrightarrow 80>81$

$,2 \sqrt{80} -1<17 \Leftrightarrow 2 \sqrt{80} <18 \Leftrightarrow \sqrt{80} <9 \Leftrightarrow 80<81$

بنابراین می توان نتیجه گرفت که:

$16 < \sum _{k=1}^{80} \frac{1}{ \sqrt{k} } <17 $

$ \Box $

در حالت کلی اگر $m \geq n$ می توان نوشت:

$2 \sqrt{n+1} -2 \sqrt{m} < \frac{1}{m} + \frac{1}{m+1} +...+ \frac{1}{n} <2 \sqrt{n} -2 \sqrt{m-1} $

Answer 2

در بعضی جاها از قاعده تلسکوپی سری ها استفاده شده: $$2 \sqrt{k} < \sqrt{k+1} + \sqrt{k} \Longrightarrow \frac{2}{ \sqrt{k+1} + \sqrt{k} }= 2.( \sqrt{k+1} - \sqrt{k} ) < \frac{1}{ \sqrt{k} } \Longrightarrow \sum _ {k=1} ^ {80} \frac{1}{ \sqrt{k} } > 2 \sum _ {k=1} ^ {80}( \sqrt{k+1} - \sqrt{k} )=2(9-1)=16, \sqrt{k} + \sqrt{k-1} < 2 \sqrt{k} \Longrightarrow \frac{1}{ \sqrt{k} } < \frac{2}{ \sqrt{k} + \sqrt{k+1} } =2( \sqrt{k} - \sqrt{k-1} ) \Longrightarrow \sum _ {k=1} ^ {80} \frac{1}{ \sqrt{k} } < 1+2 \sum _ {k=1} ^ {80} ( \sqrt{k} - \sqrt{k-1}) =1+2( \sqrt{80} -1)=2 \sqrt{80} -1 < 2 \sqrt{81} -1=17$$