به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
42 بازدید
در دبیرستان توسط lamaan (1 امتیاز)

سلام این سوال یکی از المپیاد های مرحله اول ریاضی هست که روش فکر کردم اما هیچ راهی به ذهنم نرسیدد می‌دونم که جواب ۵میشه اما نمی‌دونم چطوری حل میشه توضیحات تصویر شعاع بزرگترین دایره ای که می‌توان درون مربع رسم کرد طوری که محیط دایره با درون مربع سیاه تماس نداشته باشد چند است؟

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (2,373 امتیاز)

مربع بزرگ را طوری در دستگاه دکارتی رسم کنید که گوشۀ سمت چپ و پایین در مبدأ باشد.اولن دایرۀ $*$ دایره ای به مرکز $(5.5,5.5)$ و شعاع $5.5$ یعنی $(x-5.5)^2+(y-5.5)^2=5.5^2$ بزرگترین دایرۀ داخل مربع بزرگ است و داریم:

$(8-5.5)^2+(2-5.5)^2=2.5^2+3.5^2=6.25+12.25=18.5< 30.25=5.5^2$

$,(9-5.5)^2+(1-5.5)^2=3.5^2+4.5^2=12.25+20.25=32.5>30.25=5.5^2$

این یعنی نقطۀ $(8,2)$ گوشه بال و سمت چپ مربع مشکی و $(2,1)$ گوشۀ پایین سمت راست مربع مشکی به ترتیب در داخل و بیرن دایرۀ $*$ قرار دارند یعنی دایرۀ فوق قسمتی از مساحت مربع مشکی را شامل است.پس شعاع دایرۀ مطلوب از $5$ کمتر است.

حالا دایرۀ $@$ دایره ای به مرکز $(5,6)$ و شعاع $5$ یعنی $(x-5)^2+(y-6)^2=25$ را در نظر بگیرید:

$(8-5)^2+(2-6)^2=3^2+4^2=9+16=25$

این یعنی نقطۀ $(8,2)$ گوشه بالا چپ مربع مشکی روی دایرۀ $@$ قرار دارد.و این دایره نقطۀ مشترک دیگری با مربع مشکی ندارد.(چرا؟).پس شعاع دایرۀ مطلوب از $5$ کمتر نیست.

حالا نشان می دهیم هر دایره به شعاع $R$ که $5< R< 5.5$ حتمن مساحتی از مربع مشکی را تسخیر می کند:

اگر در دایره $*$ مرکز ثابت بماند و شعاع بزرگتر شود قسمتی از آن در طرف چپ و بالا از مربع بزرگ بیرون میزند.پس باید مرکز را جابجا کنیم.اگر طول مرکز از $6$ بزرگتر باشد یا عرض آن از $5$ کمتر باشد و شعاع از $5.5$ بزرگتر دایره از مربع بزرگ به ترتیب از چپ و پایین بیرون می زند.پس فرض کنید که $(x_0,y_0)$ که $5< x_0,y_0< 6$ مرکز دایره ای به شعاع $R$ که $5< R< 5.5$ باشد:

$5< x_0,y_0< 6 \Rightarrow -3< x_0-8< -2,3< y_0-2< 4$

$ \Rightarrow 4< (x_0-8)^2< 9,9< (y_0-2)^2< 16$

$ \Rightarrow (8-x_0)^2+(2-y_0)^2< 9+16=25< R^2$

حالا همین استدلال را برای نقطۀ $(9,2)$ بکار بیرید.میبینید که:

$(9-x_0)^2+(1-y_0)^2>R^2$

یعنی $(8,2)$ و $(9,1)$ به ترتیب در داخل و بیرون هر دایرۀ با شرایط اخیر قرار دارند و این یعنی دایره قیمتی از مربع مشکی را تسخیر می کند پس جواب $5$ است.

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...