مربع بزرگ را طوری در دستگاه دکارتی رسم کنید که گوشۀ سمت چپ و پایین در مبدأ باشد.اولن دایرۀ $*$ دایره ای به مرکز $(5.5,5.5)$ و شعاع $5.5$ یعنی $(x-5.5)^2+(y-5.5)^2=5.5^2$ بزرگترین دایرۀ داخل مربع بزرگ است و داریم:
$(8-5.5)^2+(2-5.5)^2=2.5^2+3.5^2=6.25+12.25=18.5<30.25=5.5^2$
$,(9-5.5)^2+(1-5.5)^2=3.5^2+4.5^2=12.25+20.25=32.5>30.25=5.5^2$
این یعنی نقطۀ $(8,2)$ گوشه بال و سمت چپ مربع مشکی و $(2,1)$ گوشۀ پایین سمت راست مربع مشکی به ترتیب در داخل و بیرن دایرۀ $*$ قرار دارند یعنی دایرۀ فوق قسمتی از مساحت مربع مشکی را شامل است.پس شعاع دایرۀ مطلوب از $5$ کمتر است.
حالا دایرۀ $@$ دایره ای به مرکز $(5,6)$ و شعاع $5$ یعنی $(x-5)^2+(y-6)^2=25$ را در نظر بگیرید:
$(8-5)^2+(2-6)^2=3^2+4^2=9+16=25$
این یعنی نقطۀ $(8,2)$ گوشه بالا چپ مربع مشکی روی دایرۀ $@$ قرار دارد.و این دایره نقطۀ مشترک دیگری با مربع مشکی ندارد.(چرا؟).پس شعاع دایرۀ مطلوب از $5$ کمتر نیست.
حالا نشان می دهیم هر دایره به شعاع $R$ که $5<R<5.5$ حتمن مساحتی از مربع مشکی را تسخیر می کند:
اگر در دایره $*$ مرکز ثابت بماند و شعاع بزرگتر شود قسمتی از آن در طرف چپ و بالا از مربع بزرگ بیرون میزند.پس باید مرکز را جابجا کنیم.اگر طول مرکز از $6$ بزرگتر باشد یا عرض آن از $5$ کمتر باشد و شعاع از $5.5$ بزرگتر دایره از مربع بزرگ به ترتیب از چپ و پایین بیرون می زند.پس فرض کنید که $(x_0,y_0)$ که $5<x_0,y_0<6$ مرکز دایره ای به شعاع $R$ که $5<R<5.5$ باشد:
$5<x_0,y_0<6 \Rightarrow -3<x_0-8<-2,3<y_0-2<4$
$ \Rightarrow 4<(x_0-8)^2<9,9<(y_0-2)^2<16$
$ \Rightarrow (8-x_0)^2+(2-y_0)^2<9+16=25<R^2$
حالا همین استدلال را برای نقطۀ $(9,2)$ بکار بیرید.میبینید که:
$(9-x_0)^2+(1-y_0)^2>R^2$
یعنی $(8,2)$ و $(9,1)$ به ترتیب در داخل و بیرون هر دایرۀ با شرایط اخیر قرار دارند و این یعنی دایره قیمتی از مربع مشکی را تسخیر می کند پس جواب $5$ است.
$ \Box $
