مربع بزرگ را طوری در دستگاه دکارتی رسم کنید که گوشۀ سمت چپ و پایین در مبدأ باشد.اولن دایرۀ * دایره ای به مرکز (5.5,5.5) و شعاع 5.5 یعنی (x-5.5)^2+(y-5.5)^2=5.5^2 بزرگترین دایرۀ داخل مربع بزرگ است و داریم:
(8-5.5)^2+(2-5.5)^2=2.5^2+3.5^2=6.25+12.25=18.5< 30.25=5.5^2
,(9-5.5)^2+(1-5.5)^2=3.5^2+4.5^2=12.25+20.25=32.5>30.25=5.5^2
این یعنی نقطۀ (8,2) گوشه بال و سمت چپ مربع مشکی و (2,1) گوشۀ پایین سمت راست مربع مشکی به ترتیب در داخل و بیرن دایرۀ * قرار دارند یعنی دایرۀ فوق قسمتی از مساحت مربع مشکی را شامل است.پس شعاع دایرۀ مطلوب از 5 کمتر است.
حالا دایرۀ @ دایره ای به مرکز (5,6) و شعاع 5 یعنی (x-5)^2+(y-6)^2=25 را در نظر بگیرید:
(8-5)^2+(2-6)^2=3^2+4^2=9+16=25
این یعنی نقطۀ (8,2) گوشه بالا چپ مربع مشکی روی دایرۀ @ قرار دارد.و این دایره نقطۀ مشترک دیگری با مربع مشکی ندارد.(چرا؟).پس شعاع دایرۀ مطلوب از 5 کمتر نیست.
حالا نشان می دهیم هر دایره به شعاع R که 5< R< 5.5 حتمن مساحتی از مربع مشکی را تسخیر می کند:
اگر در دایره * مرکز ثابت بماند و شعاع بزرگتر شود قسمتی از آن در طرف چپ و بالا از مربع بزرگ بیرون میزند.پس باید مرکز را جابجا کنیم.اگر طول مرکز از 6 بزرگتر باشد یا عرض آن از 5 کمتر باشد و شعاع از 5.5 بزرگتر دایره از مربع بزرگ به ترتیب از چپ و پایین بیرون می زند.پس فرض کنید که (x_0,y_0) که 5< x_0,y_0< 6 مرکز دایره ای به شعاع R که 5< R< 5.5 باشد:
5< x_0,y_0< 6 \Rightarrow -3< x_0-8< -2,3< y_0-2< 4
\Rightarrow 4< (x_0-8)^2< 9,9< (y_0-2)^2< 16
\Rightarrow (8-x_0)^2+(2-y_0)^2< 9+16=25< R^2
حالا همین استدلال را برای نقطۀ (9,2) بکار بیرید.میبینید که:
(9-x_0)^2+(1-y_0)^2>R^2
یعنی (8,2) و (9,1) به ترتیب در داخل و بیرون هر دایرۀ با شرایط اخیر قرار دارند و این یعنی دایره قیمتی از مربع مشکی را تسخیر می کند پس جواب 5 است.
\Box
