Question

تمام $x$ هایی را که در معادله زیر صدق می‌کنند را بیابید: $$ 2^{x} + 3^{x} - 4^{x} + 6^{x} - 9^{x} =1$$ مسابقات ریاضی کره $2000$.

Comments

این مسئله در این سایت قبلا حل شده است.
https://math.irancircle.com/20627/%D8%A8%D8%A7-%DA%A9%D9%85%DA%A9-%D8%B3%D8%A7%D8%AF%D9%87-%D8%B3%D8%A7%D8%B2%DB%8C-%D8%A8%D8%B1%D8%A7%D8%A8%D8%B1%DB%8C-%D8%B1%D9%88%D8%A8%D8%B1%D9%88-%D8%B1%D8%A7-%D8%AD%D9%84-%DA%A9%D9%86%D8%AF-%242-3-4-6-9-1%24

Answer 1

واضح است که $0$ یک جواب معادله است.نشان می دهیم $x=0$ تنها جواب معادله است:

$ \Rightarrow 2^x+3^x-4^x+6^x-9^x=1 \Rightarrow 2^x+3^x-(2^2)^x+6^x-(3^2)^x=1$

$ \Rightarrow 2^x+3^x-2^{2x}+6^x-3^{2x}=1 \Rightarrow 2^x+3^x-(2^x)^2+2^x3^x-(3^x)^2=1$

$(2^x)^2+(3^x)^2+1^2+2^x3^x-2^x.1-3^x.1=0$

حالا اگر طرفین را در $2$ ضرب کنیم و اتحاد:

$2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ca=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$

را بیاد بیاریم داریم:

$2(2^x)^2+2(3^x)^2+2.1^2-2.2^x3^x-2.3^x.1-2.1.2^x=0$

$ \Rightarrow (2^x-3^x)^2+(3^x-1)^2+(1-2^x)^2=0 \Rightarrow 2^x-3^x=0,2^x=1,3^x=1 \Rightarrow x=0$

$ \Box $