به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
31 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط mansour (382 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ

تمام $x$ هایی را که در معادله زیر صدق می‌کنند را بیابید: $$ 2^{x} + 3^{x} - 4^{x} + 6^{x} - 9^{x} =1$$ مسابقات ریاضی کره $2000$.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (2,373 امتیاز)
انتخاب شده توسط mansour
 
بهترین پاسخ

واضح است که $0$ یک جواب معادله است.نشان می دهیم $x=0$ تنها جواب معادله است:

$ \Rightarrow 2^x+3^x-4^x+6^x-9^x=1 \Rightarrow 2^x+3^x-(2^2)^x+6^x-(3^2)^x=1$

$ \Rightarrow 2^x+3^x-2^{2x}+6^x-3^{2x}=1 \Rightarrow 2^x+3^x-(2^x)^2+2^x3^x-(3^x)^2=1$

$(2^x)^2+(3^x)^2+1^2+2^x3^x-2^x.1-3^x.1=0$

حالا اگر طرفین را در $2$ ضرب کنیم و اتحاد:

$2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ca=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$

را بیاد بیاریم داریم:

$2(2^x)^2+2(3^x)^2+2.1^2-2.2^x3^x-2.3^x.1-2.1.2^x=0$

$ \Rightarrow (2^x-3^x)^2+(3^x-1)^2+(1-2^x)^2=0 \Rightarrow 2^x-3^x=0,2^x=1,3^x=1 \Rightarrow x=0$

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...