تمام x,y هایی را بیابید: $$(x+y)( x^{2} + y^{2} )=85 \wedge (x-y)( x^{2} - y^{2} )=45$$

Question

در صورتی که داشته باشیم تمام x,y هایی را بیابید:

$$(x+y)( x^{2} + y^{2} )=85 \wedge (x-y)( x^{2} - y^{2} )=45$$

Answer 1

$$(x+y)( x^{2} + y^{2} )=85 \wedge (x+y) (x-y)^{2} =45 \Longrightarrow \frac{ x^{2} + y^{2} }{ x^{2} -2xy+ y^{2} } = \frac{17}{9} \Longrightarrow 17 x^{2} -34xy+17 y^{2} =9 x^{2} +9 y^{2} \Longrightarrow x^{2} + y^{2} = \frac{17xy}{4} \Longrightarrow (x+y)( \frac{17xy}{4} )=85 \Longrightarrow (x+y)(xy)=20 \Longrightarrow ( \frac{17xy}{4} +2xy) (xy)^{2} =400 \Longrightarrow (xy)^{3} =64 \Longrightarrow x,y \in reality \Longrightarrow xy=4 \Longrightarrow x^{2} + y^{2} =17 \Longrightarrow x+y=5 \Longrightarrow x=1 \wedge y=4 \vee x=4 \wedge y=1$$