به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
97 بازدید
در دبیرستان توسط medanaee (80 امتیاز)

تمام $x,y,z$ های حقیقی را بیابید که $$x- \sqrt{yz}=42$$ $$y- \sqrt{zx}=6$$ $$z- \sqrt{xy}=-30$$

با جابجایی طرفین معادله و به توان 2 رساندن سعی کردم به پاسخ برسم اما نتوانستم به پاسخ برسم.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط amir7788 (2,577 امتیاز)
انتخاب شده توسط medanaee
 
بهترین پاسخ
  • برای سادگی می توان فرض کرد $x=X^2, y=Y^2, z=Z^2 $ معادلات بصورت زیر تبدیل می شود.

$$ YZ=X^2 - 42 \quad (1)$$$$ ZX=Y^2 - 6 \quad (2)$$$$ XY=Z^2 +30 \quad (3) $$

  • از سه رابطه بالا داریم

$$ {(1)-2(2)+(3)} \Rightarrow X^2 +Y^2 +Z^2 =XY+XZ+YZ+3Y^2 - 3XZ\quad(4) $$ - از طرفی داریم:

$$(X+Y+Z) ^2=X^2 +Y^2 +Z^2 +2(XY+XZ+YZ) $$

  • با جاگذاری در رابطه(4) بعد از ساده کردن داریم $$ 2Y=X+Z \quad (5)$$
  • مقدارYازرابطه (5) در روابط (1) و (3)قرار دهید بعد از ساده کردن داریم $$ X^2 =Z^2 +48 \quad (6)$$ باتوجه به رابطه (3) داریم $$XZ=Z^2 +12 \Rightarrow (Z^2 +48)Z^2 =Z^4+24Z^2 +144 \Rightarrow z=Z^2 =6 $$
  • بنابراین با توجه به روابط (5) و (6) داریم

$$ x=X^2=54\;, \;y=Y^2 =24$$

بنابراین$x=54,y=24,z=6$

توسط good4us (7,003 امتیاز)
@amir7788 در رابطه $(1)$ Y درYZنمایش داده نمی شود!
توسط amir7788 (2,577 امتیاز)
در سه سطر روابط 1،2 و 3 باید نمایش دهد اما سه رابطه را در یک سطر نشان می دهد انگشت رویش بگذارید به سمت چپ و راست کنید سه رابطه را خواهی دید. چندین با ویرایش کردم اما درست نشد کسی اگر ایراد کار متوجه شد اطلاع دهد با تشکر

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...