به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
Visanil
+1 امتیاز
223 بازدید
در دبیرستان توسط medanaee (153 امتیاز)

تمام $x,y,z$ های حقیقی را بیابید که $$x- \sqrt{yz}=42$$ $$y- \sqrt{zx}=6$$ $$z- \sqrt{xy}=-30$$

با جابجایی طرفین معادله و به توان 2 رساندن سعی کردم به پاسخ برسم اما نتوانستم به پاسخ برسم.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط amir7788 (3,013 امتیاز)
انتخاب شده توسط medanaee
 
بهترین پاسخ
  • برای سادگی می توان فرض کرد $x=X^2, y=Y^2, z=Z^2 $ معادلات بصورت زیر تبدیل می شود.

$$ YZ=X^2 - 42 \quad (1)$$$$ ZX=Y^2 - 6 \quad (2)$$$$ XY=Z^2 +30 \quad (3) $$

  • از سه رابطه بالا داریم

$$ {(1)-2(2)+(3)} \Rightarrow X^2 +Y^2 +Z^2 =XY+XZ+YZ+3Y^2 - 3XZ\quad(4) $$ - از طرفی داریم:

$$(X+Y+Z) ^2=X^2 +Y^2 +Z^2 +2(XY+XZ+YZ) $$

  • با جاگذاری در رابطه(4) بعد از ساده کردن داریم $$ 2Y=X+Z \quad (5)$$
  • مقدارYازرابطه (5) در روابط (1) و (3)قرار دهید بعد از ساده کردن داریم $$ X^2 =Z^2 +48 \quad (6)$$ باتوجه به رابطه (3) داریم $$XZ=Z^2 +12 \Rightarrow (Z^2 +48)Z^2 =Z^4+24Z^2 +144 \Rightarrow z=Z^2 =6 $$
  • بنابراین با توجه به روابط (5) و (6) داریم

$$ x=X^2=54\;, \;y=Y^2 =24$$

بنابراین$x=54,y=24,z=6$

توسط good4us (7,356 امتیاز)
@amir7788 در رابطه $(1)$ Y درYZنمایش داده نمی شود!
توسط amir7788 (3,013 امتیاز)
در سه سطر روابط 1،2 و 3 باید نمایش دهد اما سه رابطه را در یک سطر نشان می دهد انگشت رویش بگذارید به سمت چپ و راست کنید سه رابطه را خواهی دید. چندین با ویرایش کردم اما درست نشد کسی اگر ایراد کار متوجه شد اطلاع دهد با تشکر
آیا دنیاهای بسیاری وجود دارد یا فقط یک دنیا موجود است؟ این یکی از اصیل ترین و متعالی ترین سوالات در مطالعه طبیعت است.
...