تمام $x,y,z$ هایی را بیابید که $x- \sqrt{yz}=42$ و $y- \sqrt{zx}=6$ و $z- \sqrt{xy}=-30$

Question

تمام $x,y,z$ های حقیقی را بیابید که $$x- \sqrt{yz}=42$$ $$y- \sqrt{zx}=6$$ $$z- \sqrt{xy}=-30$$

با جابجایی طرفین معادله و به توان 2 رساندن سعی کردم به پاسخ برسم اما نتوانستم به پاسخ برسم.

Answer 1

• برای سادگی می توان فرض کرد $x=X^2, y=Y^2, z=Z^2 $ معادلات بصورت زیر تبدیل می شود.

$$ YZ=X^2 - 42 \quad (1)$$$$ ZX=Y^2 - 6 \quad (2)$$$$ XY=Z^2 +30 \quad (3) $$

• از سه رابطه بالا داریم

$$ {(1)-2(2)+(3)} \Rightarrow X^2 +Y^2 +Z^2 =XY+XZ+YZ+3Y^2 - 3XZ\quad(4) $$ - از طرفی داریم:

$$(X+Y+Z) ^2=X^2 +Y^2 +Z^2 +2(XY+XZ+YZ) $$

• با جاگذاری در رابطه(4) بعد از ساده کردن داریم $$ 2Y=X+Z \quad (5)$$
• مقدارYازرابطه (5) در روابط (1) و (3)قرار دهید بعد از ساده کردن داریم $$ X^2 =Z^2 +48 \quad (6)$$ باتوجه به رابطه (3) داریم $$XZ=Z^2 +12 \Rightarrow (Z^2 +48)Z^2 =Z^4+24Z^2 +144 \Rightarrow z=Z^2 =6 $$
• بنابراین با توجه به روابط (5) و (6) داریم

$$ x=X^2=54\;, \;y=Y^2 =24$$

بنابراین$x=54,y=24,z=6$

Comments

@amir7788 در رابطه $(1)$ Y درYZنمایش داده نمی شود!

---

در سه سطر روابط 1،2 و 3 باید نمایش دهد اما سه رابطه را در یک سطر نشان می دهد انگشت رویش بگذارید به سمت چپ و راست کنید سه رابطه را خواهی دید. چندین با ویرایش کردم اما درست نشد کسی اگر ایراد کار متوجه شد اطلاع دهد با تشکر