ریشه های مختلط هفتم $1$ را در نظر بگیرید:
$z_k=e^{ \frac{2k \pi i}{7} },k=0,1,2,...,6,z^7-1=(z-1)(z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)=0$
پس اگر $z \neq 1$ آنگاه:
$z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0$
بنابر این قسمت حقیقی هم صفر است:
$ \Rightarrow 1+Cos( \frac{2 \pi }{7} )+Cos( \frac{4 \pi }{7} )+Cos( \frac{6 \pi }{7} )+Cos( \frac{8 \pi }{7} )+Cos( \frac{10 \pi }{7} )+Cos( \frac{12 \pi }{7} )=0$
$ \Rightarrow 1+Cos( \frac{2 \pi }{7} )+Cos( \pi - \frac{ 3 \pi }{7} )+Cos( \pi - \frac{1 \pi }{7} )+Cos( \pi +\frac{1 \pi }{7} )+Cos( \pi + \frac{3 \pi }{7} )+Cos(2 \pi - \frac{2 \pi }{7} )=0$
$ \Rightarrow 1+Cos( \frac{2 \pi }{7} )-Cos( \frac{3 \pi }{7} )-Cos( \frac{ \pi }{7} )-Cos( \frac{ \pi }{7} )-Cos( \frac{3 \pi }{7} )+Cos( \frac{2 \pi }{7} )=0$
$1-2Cos( \frac{\pi }{7} )+2Cos( \frac{2 \pi }{7} )-2Cos( \frac{3 \pi }{7} )=0 \Rightarrow 2Cos( \frac{\pi }{7} )-2Cos( \frac{2 \pi }{7} )+2Cos( \frac{3 \pi }{7} )=1$
$p=-q=r=2$
$ \Box $
توجه شود که $Cos( \frac{\pi }{7} )$ گنگ است.
