$$pcos( \frac{ \pi }{7} )+qcos( \frac{2 \pi }{7} )+rcos ( \frac{3 \pi }{7} )=1 \Longrightarrow p,q,r=?$$

Question

در صورتی که $p,q,r$ اعداد گویا باشند و داشته باشیم: $$ pcos( \frac{ \pi }{7} )+qcos( \frac{2 \pi }{7} )+rcos ( \frac{3 \pi }{7} )=1 \Longrightarrow p,q,r=?$$

Comments

$$ \Longleftrightarrow qcos ( \frac{2 \pi }{7} )-rcos ( \frac{4 \pi }{7} )-pcos ( \frac{6 \pi }{7} )=1 \wedge 1,cos( \frac{2 \pi }{7} ),cos( \frac{4 \pi }{7} ),cos( \frac{6 \pi }{7} ) are roots for trigonometric cos(4x)=cos(3x) $$

Answer 1

ریشه های مختلط هفتم $1$ را در نظر بگیرید:

$z_k=e^{ \frac{2k \pi i}{7} },k=0,1,2,...,6,z^7-1=(z-1)(z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)=0$

پس اگر $z \neq 1$ آنگاه:

$z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0$

بنابر این قسمت حقیقی هم صفر است:

$ \Rightarrow 1+Cos( \frac{2 \pi }{7} )+Cos( \frac{4 \pi }{7} )+Cos( \frac{6 \pi }{7} )+Cos( \frac{8 \pi }{7} )+Cos( \frac{10 \pi }{7} )+Cos( \frac{12 \pi }{7} )=0$

$ \Rightarrow 1+Cos( \frac{2 \pi }{7} )+Cos( \pi - \frac{ 3 \pi }{7} )+Cos( \pi - \frac{1 \pi }{7} )+Cos( \pi +\frac{1 \pi }{7} )+Cos( \pi + \frac{3 \pi }{7} )+Cos(2 \pi - \frac{2 \pi }{7} )=0$

$ \Rightarrow 1+Cos( \frac{2 \pi }{7} )-Cos( \frac{3 \pi }{7} )-Cos( \frac{ \pi }{7} )-Cos( \frac{ \pi }{7} )-Cos( \frac{3 \pi }{7} )+Cos( \frac{2 \pi }{7} )=0$

$1-2Cos( \frac{\pi }{7} )+2Cos( \frac{2 \pi }{7} )-2Cos( \frac{3 \pi }{7} )=0 \Rightarrow 2Cos( \frac{\pi }{7} )-2Cos( \frac{2 \pi }{7} )+2Cos( \frac{3 \pi }{7} )=1$

$p=-q=r=2$

$ \Box $

توجه شود که $Cos( \frac{\pi }{7} )$ گنگ است.