به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
Visanil
0 امتیاز
70 بازدید
در دانشگاه توسط mansour (605 امتیاز)

معادله زیر را در مجموعه اعداد حقیقی حل کنید: $$x^{2} + \sqrt{ \frac{ \pi }{2} } \Gamma ^{-2} (\frac{3}{4} ) \int _0^ \frac{ \pi }{2} \frac{xsinx}{ \sqrt{cosx} } dx=3x$$

توسط mansour (605 امتیاز)
ویرایش شده توسط mansour
$$I= \int _0^ \frac{ \pi }{2}  \frac{xsinx}{ \sqrt{cosx} } dx= \underbrace{-2x \sqrt{cosx} ]_0^ \frac{ \pi }{2} =0}  +2 \int _0^ \frac{ \pi }{2}  \sqrt{cosx} dx \wedge 2 \int _0^ \frac{ \pi }{2}  \sqrt{cosx} dx = \beta ( \frac{1}{2} , \frac{3}{4} )= \frac{ \Gamma( \frac{1}{2} )  \Gamma ( \frac{3}{4} )}{ \Gamma( \frac{5}{4}  )}$$$$ \sqrt{ \frac{ \pi }{2} }  \frac{1 }{  \Gamma ^{2}( \frac{3}{4} ) }  \frac{ \sqrt{ \pi } \Gamma ( \frac{3}{4} ) }{ \frac{1}{4}  \Gamma ( \frac{1}{4} )}=2 \sqrt{2}  \frac{ \pi }{ \Gamma ( \frac{3}{4} ) \Gamma ( \frac{1}{4} )}  \wedge  \Gamma ( \frac{3}{4} ) \Gamma ( \frac{1}{4} )= \Gamma (1- \frac{1}{4} ) \Gamma ( \frac{1}{4} )= \frac{ \pi }{sin( \frac{ \pi }{4} )} = \pi  \sqrt{2}  \Longrightarrow 2 \sqrt{2}  \frac{ \pi }{ \Gamma ( \frac{3}{4} ) \Gamma ( \frac{1}{4} )} = \frac{2 \sqrt{2}  \pi }{ \pi  \sqrt{2} } =2  \Longrightarrow  x^{2} +2x=3x$$

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط mansour (605 امتیاز)
انتخاب شده توسط mansour
 
بهترین پاسخ

$$I= \int _0^ \frac{ \pi }{2} \frac{xsinx}{ \sqrt{cosx} } dx= \underbrace{-2x \sqrt{cosx} ]_0^ \frac{ \pi }{2} =0} +2 \int _0^ \frac{ \pi }{2} \sqrt{cosx} dx \wedge 2 \int _0^ \frac{ \pi }{2} \sqrt{cosx} dx = \beta ( \frac{1}{2} , \frac{3}{4} )= \frac{ \Gamma( \frac{1}{2} ) \Gamma ( \frac{3}{4} )}{ \Gamma( \frac{5}{4} )} \Longrightarrow 2 \int _0^ \frac{ \pi }{2} \sqrt{cosx} dx= \frac{ \sqrt{ \pi } \Gamma ( \frac{3}{4} ) }{ \frac{1}{4} \Gamma ( \frac{1}{4} )} \wedge \Gamma ( \frac{1}{2} )= \sqrt{ \pi } \wedge \Gamma ( \frac{5}{4} )== \Gamma (1+ \frac{1}{4} )= \frac{1}{4} \Gamma ( \frac{1}{4} )$$$$ \Longrightarrow \sqrt{ \frac{ \pi }{2} } \frac{1 }{ \Gamma ^{2}( \frac{3}{4} ) } \frac{ \sqrt{ \pi } \Gamma ( \frac{3}{4} ) }{ \frac{1}{4} \Gamma ( \frac{1}{4} )}=2 \sqrt{2} \frac{ \pi }{ \Gamma ( \frac{3}{4} ) \Gamma ( \frac{1}{4} )} \wedge \Gamma ( \frac{3}{4} ) \Gamma ( \frac{1}{4} )= \Gamma (1- \frac{1}{4} ) \Gamma ( \frac{1}{4} )= \frac{ \pi }{sin( \frac{ \pi }{4} )} = \pi \sqrt{2} \Longrightarrow 2 \sqrt{2} \frac{ \pi }{ \Gamma ( \frac{3}{4} ) \Gamma ( \frac{1}{4} )} \Longrightarrow \Gamma ( \frac{3}{4} ) \Gamma ( \frac{1}{4} )= \Gamma (1- \frac{1}{4} ) \Gamma ( \frac{1}{4} )= \frac{ \pi }{sin( \frac{ \pi }{4} )} = \pi \sqrt{2} \Longrightarrow2 \sqrt{2} \frac{ \pi }{ \Gamma ( \frac{3}{4} ) \Gamma ( \frac{1}{4} )} =\frac{2 \sqrt{2} \pi }{ \pi \sqrt{2} } =2 \Longrightarrow x^{2} +2x=3x \Longrightarrow x^{2} -3x+2=0 \Longrightarrow x=1 \vee 2$$

آموزش جبر در مراحل اولیه باید شامل تعمیمی تدریجی از حساب باشد؛ به بیان دیگر، در اولین مرحله، باید جبر را به عنوان حساب جهانی در محکم ترین مفهوم تلقی کرد.
...