به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
17 بازدید
در دانشگاه توسط mansour (382 امتیاز)
ویرایش شده توسط mansour

نشان دهیدکه:

$$ \int _0^1Li_2 \sqrt{x} dx= \frac{ { \pi } ^{2} }{6} - \frac{3}{4} $$

$$ Li_{a} (z)= \sum _ {n=1} ^ \infty \frac{ z^{n} }{ n^{a} }$$

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط mansour (382 امتیاز)
 
بهترین پاسخ

$$Li_2( \sqrt{x} )= \sum _ {n=1} ^ \infty \frac{ ( \sqrt{x} )^{n} }{ n^{2} } \Longrightarrow I= \int _0^1 \sum _ {n=1} ^ \infty \frac{ (\sqrt{x} )^{n} }{ n^{2} } dx= \int _0^1 \sum _ {n=1} ^ \infty \frac{ x^{ \frac{n}{2} } }{ n^{2} } dx= \sum _ {n=1} ^ \infty \frac{1}{ n^{2} } \int _0^1 x^{ \frac{n}{2} } dx= \sum _ {n=1} ^ \infty \frac{1}{ n^{2} } [ \frac{ x^{ \frac{n}{2} +1}}{ \frac{n}{2} +1}]= \sum _ {n=1} ^ \infty \frac{1}{ n^{2} } . \frac{1}{ \frac{n}{2}+1 } \Longrightarrow \frac{1}{ n^{2}( \frac{n}{2} +1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{ n^{2} } + \frac{C}{ \frac{n}{2} +1} \Longrightarrow B=1 \wedge C= \frac{1}{4} \wedge A=- \frac{1}{2} \Longrightarrow ?= \sum _ {n=1} ^ \infty \frac{1}{ n^{2} } - \frac{1}{2} \sum _ {n=1} ^ \infty [ \frac{1}{n} - \frac{1}{n-2} ]= \zeta (2)- \frac{1}{2} H_2= \frac{ \pi ^{2} }{6} - \frac{3}{4} $$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...