Question

نشان دهید:

$\int 0^ \infty \frac{ Li{2}(-x) }{ x^{2} -x+1} dx= \frac{-14 \pi ^{3} }{81 \sqrt{3} }$

Answer 1

ایده ای برای حل:

$I:= \int _0^ \infty \frac{Li_2(-x)}{x^2-x+1} dx$

حالا با تغییرمتغیر $u= \frac{1}{x}$ می توان نشان داد که:

$I= \int _0^ \infty \frac{Li_2(- \frac{1}{u} )}{u^2-u+1} du$

حالا توجه کنید که $Li_2(- \frac{1}{x})+Li_2(- \frac{1}{x})=-\frac{ \pi ^2}{6} - \frac{1}{2} Ln^2(x)$ و از اینجا:

$2I=I+I=\int _0^ \infty \frac{Li_2(-x)+Li_2(- \frac{1}{x} )}{x^2-x+1} dx=\int _0^ \infty \frac{-\frac{ \pi ^2}{6} - \frac{1}{2} Ln^2(x)}{x^2-x+1} d$

$=-\frac{ \pi ^2}{6}\int _0^ \infty \frac{1}{x^2-x+1} dx- \frac{1}{2} \int _0^ \infty \frac{Ln^2(x)}{x^2-x+1} dx$

انتگرال اول که وارون تانژانت است و انتگرال دوم با جزء به جزء حل مبشه.

$\Box$