به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
38 بازدید
در دانشگاه توسط mansour (558 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ

نشان دهید:

$\int 0^ \infty \frac{ Li{2}(-x) }{ x^{2} -x+1} dx= \frac{-14 \pi ^{3} }{81 \sqrt{3} }$

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (3,185 امتیاز)
انتخاب شده توسط mansour
 
بهترین پاسخ

ایده ای برای حل:

$I:= \int _0^ \infty \frac{Li_2(-x)}{x^2-x+1} dx$

حالا با تغییرمتغیر $u= \frac{1}{x} $ می توان نشان داد که:

$I= \int _0^ \infty \frac{Li_2(- \frac{1}{u} )}{u^2-u+1} du$

حالا توجه کنید که $Li_2(- \frac{1}{x})+Li_2(- \frac{1}{x})=-\frac{ \pi ^2}{6} - \frac{1}{2} Ln^2(x)$ و از اینجا:

$2I=I+I=\int _0^ \infty \frac{Li_2(-x)+Li_2(- \frac{1}{x} )}{x^2-x+1} dx=\int _0^ \infty \frac{-\frac{ \pi ^2}{6} - \frac{1}{2} Ln^2(x)}{x^2-x+1} d$

$=-\frac{ \pi ^2}{6}\int _0^ \infty \frac{1}{x^2-x+1} dx- \frac{1}{2} \int _0^ \infty \frac{Ln^2(x)}{x^2-x+1} dx$

انتگرال اول که وارون تانژانت است و انتگرال دوم با جزء به جزء حل مبشه.

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...