به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
36 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط mansour (392 امتیاز)

دستگاه معادلات زیر را بیابید: $$ x^{x} = 2^{x+4} \wedge z^{2} + \frac{4z}{x} +log_y z=91 \wedge y^{y} = 3^{y+9} $$

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (2,420 امتیاز)
انتخاب شده توسط mansour
 
بهترین پاسخ

یک ایده:

$x^x=2^{x+4} \Rightarrow x^x=2^4.2^x \Rightarrow \frac{x^x}{2^x} =2^4 \Rightarrow ( \frac{x}{2} )^x=2^4 \Rightarrow ((\frac{x}{2} )^x)^{\frac{1}{2}}=(2^4)^{ \frac{1}{2} }$

$ \Rightarrow ( \frac{x}{2} )^{\frac{x}{2}}=|2^2|=2^2$

از روی شکل معادله یک حالت جواب اینه که:

$ \frac{x}{2} =2 \Rightarrow x=4$

برای معادلۀ دیگر داریم:

$y^y=3^{y+9} \Rightarrow ( \frac{y}{3} )^y=3^9 \Rightarrow (( \frac{y}{3} )^y)^{ \frac{1}{3} }=(3^9)^{\frac{1}{3}} \Rightarrow ( \frac{y}{3} )^{\frac{y}{3}}=3^3$

از روی شکل معادله یک جواب به صورت زیر است:

$ \frac{y}{3} =3 \Rightarrow y=9$

$ \Rightarrow z^2+z+Log^z_9=91 \Rightarrow z(z+1)+Log^z_9=9 \times 10+1=9 \times (9+1)+Log^9_9$

از روی شکل دو طرف معادله باید یک جواب $z=9$ باشد.بنابر این یک جواب دستگاه به صورت:

$(x,y,z)=(4,9,9)$

است.

$ \Box $

استدلال من راه حلی برای پیدا کردن یک جواب است.دستگاه ممکن است جوابهای دیگری هم داشته باشد.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...