فرض کنید دو مثلث $ABC$ و $A'B'C'$ اضلاع برابر دارند یعنی:
$a=BC=B'C'=a',b=AC=A'C'=b',c=AB=A'B'=c'$
حالا قضیۀ کسینوس ها را بکار ببرید:
$ \Rightarrow a^2=b^2+c^2-2bcCosA,a'^2=b'^2+c'^2-2b'c'CosA' \Rightarrow CosA=CosB$
به همین ترتیب $CosB=CocB'$ و $CosC=CosC'$ و چون در هرمثلث حداقل دو زاویۀ حاده داریم این دو زاویۀ حاده با هم برابراند لذا دیگری هم برابرند.
حالا فرض کنید که $b=b'$ و $a=a'$ و $ \angle C= \angle C'$ بنابر این:
$c^2=a^2+b^2-2abCosC=a'^2+b'^2-2a'b'CosC'=c'^2 \Rightarrow c^2=c'^2 \Rightarrow c=c'$
به حالات اول بر می گردیم.
برای حالت سوم فرض کنید $ \angle B= \angle B'$ و $ \angle C= \angle C'$ و $a=a'$:
$ \frac{a}{SinA} =\frac{b}{SinB} = \frac{c}{SinC} ,\frac{a'}{SinA'} =\frac{b'}{SinB'} = \frac{c'}{SinC'} \Rightarrow b=b',c=c'$
$ \Box $
