فرض کنید دو مثلث ABC و A'B'C' اضلاع برابر دارند یعنی:
a=BC=B'C'=a',b=AC=A'C'=b',c=AB=A'B'=c'
حالا قضیۀ کسینوس ها را بکار ببرید:
\Rightarrow a^2=b^2+c^2-2bcCosA,a'^2=b'^2+c'^2-2b'c'CosA' \Rightarrow CosA=CosB
به همین ترتیب CosB=CocB' و CosC=CosC' و چون در هرمثلث حداقل دو زاویۀ حاده داریم این دو زاویۀ حاده با هم برابراند لذا دیگری هم برابرند.
حالا فرض کنید که b=b' و a=a' و \angle C= \angle C' بنابر این:
c^2=a^2+b^2-2abCosC=a'^2+b'^2-2a'b'CosC'=c'^2 \Rightarrow c^2=c'^2 \Rightarrow c=c'
به حالات اول بر می گردیم.
برای حالت سوم فرض کنید \angle B= \angle B' و \angle C= \angle C' و a=a':
\frac{a}{SinA} =\frac{b}{SinB} = \frac{c}{SinC} ,\frac{a'}{SinA'} =\frac{b'}{SinB'} = \frac{c'}{SinC'} \Rightarrow b=b',c=c'
\Box
