Question

با فرض: $$x= \sqrt{3+ \sqrt{5} } \wedge y= \sqrt{5- \sqrt{5} } \wedge a= \frac{x-y}{x+y} \Longrightarrow A= \frac{ a^{5} -10 a^{3} +5a}{10 a^{4} -20 a^{2} +2} =?$$

Answer 1

$$x= \sqrt{ \frac{6+2 \sqrt{5} }{2} }=2 \sqrt{2} .( \frac{ \sqrt{5} +1}{4} ) =2 \sqrt{2} sin( \frac{3 \pi }{10} ) \wedge y= \sqrt{ \frac{10-2 \sqrt{5} }{2} }=2 \sqrt{2}.( \frac{ \sqrt{10-2 \sqrt{5} } }{4})=2 \sqrt{2} sin( \frac{ \pi }{5} ) \wedge a= \frac{sin( \frac{3 \pi }{10} )-sin( \frac{ \pi }{5} )}{sin( \frac{3 \pi }{10} )+sin( \frac{ \pi }{5} )} = \frac{2cos( \frac{ \pi }{4} )sin( \frac{ \pi }{20} )}{2sin( \frac{ \pi }{4} )cos( \frac{ \pi }{20} )} =tan ( \frac{ \pi }{20} ) \ast \ast tan 5x= \frac{ tan^{5}x -10 tan ^{3}x +5tanx}{5 tan ^{4}x -10 tan ^{2} x+1} \Longrightarrow A=\frac{1}{2} .( \frac{ a^{5} -10 a^{3} +5a}{5 a^{4} -10 a^{2} +1} )= \frac{1}{2}tan (5 \frac{ \pi }{20} )= \frac{1}{2} tan \frac{ \pi }{4} = \frac{1}{2} $$