من برای معادله $\sin x=x$ توضیحاتی میدم .چنین معادلاتی را نمی توان به روش آنالیزی جوابی برایش یافت. در این گونه معادلات باید یا از روش هندسی استفاده کنید یا از روش های عددی کمک بگیرید و تقریبی از جواب را به دست اورید.
برای روش هندسی :
واضح است که یک جواب دارد و جواب برابر است با $x=0$ .
اما برای یافتن تقریبی از جواب می توانید از روش های عددی از جمله روش معروف تقریب نیوتن استفاده کنید (اینجا را ببینید)
قرار دهید $f(x)=x-\sin x=0$
با یک حدس اولیه $x_0$ که فکر میکنیم نزدیک به جواب باشد شروع می کنیم و $x_1$ را از رابطه ی $$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$ به دست می آوریم. در واقع $x_1$ اینطور به دست می آید: معادله خط مماس بر نمودار تابع $f$ را در نقطه $x_0$ نوشته و $x_1$ برابر است با نقطه ای که این خط مماس محور $x$ ها را قطع کرده است. حال $x_1$ را نقطه جدید گرفته و مرحله قبل را تکرار می کنیم. یعنی معادله خط مماس بر نمودار $f$ در نقطه $x_1$ را می نویسیم و این خط مماس هر جا نمودار $x$ ها را قطع کرد $x_2$ می نامیم. در اینصورت به یک دنباله
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$ می رسیم. این دنباله به سمت ریشه ی این معادله میل می کند.
(در شکل زیر روش نیوتن نمایش داده شده است. شکل از ویکی پدیا)
روش دیگر که نشان می دهد در یک بازه ای آیا معادله $f(x)=0$ ریشه دارد یا خیر استفاده از قضیه بولزانو است:
قضیه: اگر تابع $f:[a,b]\to\mathbb R$ پیوسته باشد و $f(a)f(b)< 0$ آنگاه تابع $f$ در بازه $(a,b)$ حداقل یک ریشه دارد.
در اینصورت چون تابع $f(x)=x-\sin x$ پیوسته است اگر آن را روی بازه $[-1,1]$ در نظر بگیریم $f(-1)=-1-\sin(-10=-1+\sin 1<0$ و $f(1)=1-\sin 1> 0$ بنابر این از قضیه بولزانو ثابت می شود معادله$f(x)=0$ دارای حداقل یک ریشه بین $(-1,1)$ است. و چون $f(x)=x-\sin x$ روی این بازه اکیدا صعودی است نتیجه میگیریم دقیقا یک ریشه در این بازه دارد. از طرفی برای $x>1$ چون $x> \sin x$ لذا در بازه $(1,\infty)$ معادله جواب ندارد و برای بازه $x< -1$ چون $x< \sin x$ بنابراین در بازه $(-\infty,-1)$ هم جواب ندارد. پس این معادله دقیقا یک جواب دارد و آن هم در بازه $(-1,1)$ که همانطور که واضح است $x=0$ جواب است.
در مورد معادله $|x|=|\sin x|$ چون $|\sin 0|=|0|=0$ لذا در صفر برابرند. با توجه به شکل تنها جواب همین صفر است.
