Question

نشان دهید: $$ cosh^{-1}z=Ln[z \pm \sqrt{ z^{2}-1 }] $$ تابع آرک کسینوس هیپربولیک را مساوی یک پارامتر می‌گیریم.

Answer 1

$w:=cosh^{-1}(z) \Rightarrow z=cosh(w) \Rightarrow z= \frac{e^w+e^{-w}}{2}$

حالا قرار دهید:

$u:=e^w \Rightarrow z= \frac{u- \frac{1}{u} }{2} = \frac{u^2+1}{2u} \Rightarrow u^2+1=2zu \Rightarrow u^2-2zu=-1 $

$\Rightarrow u^2-2zu+z^2=z^2-1 \Rightarrow (u-z)^2=z^2-1 \Rightarrow u-z= \sqrt{z^2-1} $(چرا؟)

$ u=z+ \sqrt{z^2-1} $

$\Rightarrow e^w=z+\sqrt{z^2-1} $

$\Rightarrow w=cosh^{-1}(z)=Ln(z+\sqrt{z^2-1})$

$ \Box $