Question

نشان دهید: $$ \theta = \int _0^1 \frac{xln(x)Ti_2(x)dx}{ x^{2} +1}= \frac{7 \pi }{64} \zeta (3)- \frac{ \beta (4)}{2} $$

Answer 1

ایده ای برای حل:

$Ti_2(x)= \int _0^x \frac{tan^{-1}t}{t} dt= \sum _{k=0}^ \infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)^2} $

$ \frac{1}{1+x^2} = \sum _{t=0}^ \infty (-1)^tx^{2t}$

$ \int _0^1 x^s.Lnxdx= \int _0^1Lnx.d( \frac{x^{s+1}}{s+1} )= \frac{-1}{(s+1)^2} $

حالا از جابجایی سیگما و انتگرال (؟) استفاده کنید.

$ \Box $

Comments

![توضیحات تصویر][1]


  [1]: https://math.irancircle.com/?qa=blob&qa_blobid=6149168663446921443

---

![توضیحات تصویر][1]


  [1]: https://math.irancircle.com/?qa=blob&qa_blobid=4017696339040799647

---

![توضیحات تصویر][1]


  [1]: https://math.irancircle.com/?qa=blob&qa_blobid=8770858180359947245