اگر $A=[a_{ij}]_{m \times n}$ ($m$ سطر و $n$ ستون ) و $B=[b_{ij}]_{n \times k}$ ( $n$ سطر و $k$ ستون ) دو ماتریس باشند، (توجه کنید که تعداد ستونهای $A$ با تعداد سطرهای $B$ برابر است ) آنگاه حاصلضرب آنها یعنی $AB$ ماتریسی $m \times k$ است که بصورت زیر تعریف می شود:
$AB:=[x_{ij}]_{m \times k} ,x_{ij}= \sum _{s=1}^ka_{is}b_{sj} $
توجه شود که ضرب ماتریسها خاصیت جابجایی ندارد.حتی ممکن است $AB$ تعریف شده باشد اما $BA$ تعریف نشده.
حالا اگر چند ماتریس پشت سر هم ضرب شوند باید تعداد سطرهای هر کدام برابر تعداد ستونهای ماتریس قبل از خود باشد و تعداد سطهای ماتریس حاصل با تعداد سطرهای ماتریس اول و تعداد ستونهای ماتریس حاصل با تعداد ستونهای ماتریس آخری یکی است و تعریف چنین است:
$A_1A_2...A_p=(A_1A_2...A_{p-1})A_p \vee A_1A_2...A_p=A_1(A_2...A_{p-1}A_p) $
خاصیت شرگت پذیری ( آنچه در اینجا میخواهیم ثابت کنیم ) نشان می دهد که دو تا تعریف بالا هم ارزند.حالا خاصیت شرکت پذیری.فرض کنید:
$ A=[a_{ij}]_{m \times n} , B=[b_{ij}]_{n \times k} , C=[c_{ij}]_{k \times l} , X=AB , Y=BC $
کافیست نشان دهیم:
$ T=AY=XC=W $
$ t_{ij}= \sum _{s=1}^na_{ik}y_{kl} = \sum _{s=1}^na_{ik} \sum_{p=1}^k b_{kp}c_{pl} = \sum _{s=1}^n \sum_{p=1}^ka_{ik}( b_{kp}c_{pl}) $
$ = \sum _{s=1}^n \sum_{p=1}^k(a_{ik}b_{kp})c_{pl} = \sum _{s=1}^n \sum_{p=1}^k(a_{ik}b_{kp})c_{pl} = \sum _{p=1}^k \sum_{s=1}^n(a_{ik}b_{kp})c_{pl} $
$ =\sum _{p=1}^kx_{ip}c_{pl}=w_{ij} $
یعنی درایه های نظیر به نظیر دو ماتریس $T$ و $W$ برابرند لذا:
$T=W \Rightarrow AY=XC \Rightarrow A(BC)=(AB)C$
توجه کنید که من به دقت به کرانهای بالا و پائین اندیسها اشاره نکرده ام که با توجه به تعداد سطر و ستون ماتریسها واضح است.
$ \Box $
