Question

نشان دهید که: $$ \int _0^ \infty \frac{cos(2 \pi x^{2} )}{ cosh^{2} ( \pi x)} dx= \frac{1}{4} $$ And$$ \int_0^ \infty \prod _ {k=1} ^n \frac{ k^{2} }{ k^{2} + x^{2} }dx= \frac{ \pi }{2}. \frac{n}{2n-1} $$

Answer 1

ایده ای برای حل اولی:

$$cos(2 \pi x^2)= \frac{1}{2} (e^{2 \pi ix^2}+e^{-2 \pi ix^2})$$

$$, \frac{1}{cosh^2( \pi x)}= \frac{4e^{2 \pi x}}{(1-e^{-2 \pi x})^2} ,\frac{1}{(1-e^{-2 \pi x})^2}= \sum _{n=0}^ \infty (-1)^n(n+1)e^{-2 \pi nx}$$

حالا با بکار گیری انتگرالهای

$$ \int _0^ \infty e^{-ax^2}cos(bx^2)dx$$

جواب به صورت یک سری به دست میاد.برای قسمت دوم هم بهتره از انتگرال روی کنتورها در صفحه مختلط استفاده شود.برای این کار تابع مختلط:

$$f(z)= \prod _{k=1}^ \infty \frac{1}{k^2+z^2} $$

را در نظر بگیرید.