برای حل این مسئله، از روش گام به گام و استفاده از معادلات بازگشتی استفاده میکنیم.
تعریف متغیرها:
- $P_S$: احتمال اینکه دو شیر متوالی زودتر از سه خط متوالی رخ دهد.
- $P_H$: احتمال اینکه دو شیر متوالی زودتر از سه خط متوالی رخ دهد، به شرطی که اولین پرتاب شیر باشد.
- $P_{HH}$: احتمال اینکه دو شیر متوالی زودتر از سه خط متوالی رخ دهد، به شرطی که دو پرتاب اول شیر باشد.
- $P_T$: احتمال اینکه دو شیر متوالی زودتر از سه خط متوالی رخ دهد، به شرطی که اولین پرتاب خط باشد.
- $P_{TT}$: احتمال اینکه دو شیر متوالی زودتر از سه خط متوالی رخ دهد، به شرطی که دو پرتاب اول خط باشد.
معادلات بازگشتی:
با توجه به اینکه هر پرتاب سکه مستقل از پرتابهای دیگر است، میتوانیم معادلات زیر را بنویسیم:
- $P_S = \frac{1}{2} P_H + \frac{1}{2} P_T$
- $P_H = \frac{1}{2} P_{HH} + \frac{1}{2} P_T$
- $P_{HH} = 1$ (اگر دو شیر متوالی رخ دهد، این رخداد زودتر از سه خط متوالی اتفاق افتاده است)
- $P_T = \frac{1}{2} P_H + \frac{1}{2} P_{TT}$
- $P_{TT} = \frac{1}{2} P_H + \frac{1}{2} \cdot 0$ (اگر سه خط متوالی رخ دهد، این رخداد زودتر از دو شیر متوالی اتفاق افتاده است)
حل معادلات:
با جایگذاری $P_{HH} = 1$ در معادله دوم، داریم:
$P_H = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} P_T = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} P_T$
با جایگذاری $P_{TT} = \frac{1}{2} P_H$ در معادله چهارم، داریم:
$P_T = \frac{1}{2} P_H + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} P_H) = \frac{3}{4} P_H$
حال $P_T$ را در معادله $P_H$ جایگذاری میکنیم:
$P_H = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{3}{4} P_H) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} P_H$
$\frac{5}{8} P_H = \frac{1}{2}$
$P_H = \frac{4}{5}$
حال میتوانیم $P_T$ را محاسبه کنیم:
$P_T = \frac{3}{4} P_H = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$
در نهایت، $P_S$ را محاسبه میکنیم:
$P_S = \frac{1}{2} P_H + \frac{1}{2} P_T = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{7}{10}$
نتیجه:
بنابراین، احتمال اینکه رخداد دو بار رو شدن شیر متوالی زودتر از سه بار رو شدن خط متوالی رخ دهد، برابر با $\frac{7}{10}$ یا 70% است.
