می توان آزمایش علی و آزمایش رضا را یک آزمایش دوجملهای به ترتیب $10$ و $11$ بار در نظر گرفت. این دو آزمایش مستقل از هماند. (چرا؟) حالا اگر احتمال پیروزی که همان شیر آمدن است را $p$ در نظر بگیریم احتمال شکست که همان خط آمدن است $1-p$ است. (اگر سکه سالم باشد داریم: $p=1-p=0.5$). حالا اگر تعداد پیروزیهای علی را با $X$ و تعداد پیروزیهای رضا را با $Y$ نشان دهیم داریم:
$$P(X=x)= \binom{10}{x}p^x(1-p)^{10-x},P(Y=y)= \binom{11}{y}p^y(1-p)^{11-y}$$
$$,P(X=x,Y=y)=P(X=x).P(Y=y)$$
$$ \Rightarrow P(Y>X)=P( \cup_{x=0}^{10}(X=x,Y>x))=\sum_{x=0}^{10}P(X=x,Y>x))$$
$$=\sum_{x=0}^{10}P(X=x).P(Y>x))=\sum_{x=0}^{10}P(X=x).P( \cup_{y=x+1}^{11}(Y=y))$$
$$=\sum_{x=0}^{10}P(X=x). \sum_{y=x+1}^{11}P(Y=y))=\sum_{x=0}^{10}\sum_{y=x+1}^{11}P(X=x).P(Y=y))$$
$$=\sum_{x=0}^{10}\sum_{y=x+1}^{11} \binom{10}{x} \binom{11}{y}p^{x+y}(1-p)^{21-x-y}$$
$\Box$
