ثابت کنید که معادله $(m x^{2}+2nx+p)(m+p)-2(mp-n^{2})(x^{2}+1)=0$ جواب ندارد.

Question

معادله $ m x^{2}+2nx+p=0 $ دارای دو جواب متفاوت است.ثابت کنید که معادله زیر حواب ندارد.

$$(m x^{2}+2nx+p)(m+p)-2(mp-n^{2})(x^{2}+1)=0$$

Answer 1

معادله اولی چون دارای دو جواب متفاوت است یعنی دلتای آن بزرگتر از صفر است پس:

$$4n^2-4mp> 0\tag{*} $$

برای اثبات اینکه دومی جواب ندارد باید ثابت کنیم که دلتای آن منفی است. معادله دوم را به صورت معادله درجه دوم می نویسیم:

$$(m(m+p)-2(mp-n^2))x^2+(2n(m+p))x+(p(m+p)-2(mp-n^2))=0$$ $$\begin{align}\Delta&=4n^2(m+p)^2-4(m(m+p)-2(mp-n^2))(p(m+p)-2(mp-n^2))\\ &=4n^2(m+p)^2-4mp(m+p)^2+8m(m+p)(mp-n^2)+8(mp-n^2)p(m+p)-16(mp-n^2)^2\\ &=(4n^2-4mp)(m+p)^2+(4mp-4n^2)(2m^2+2p^2+4n^2)\\ &=(4n^2-4mp)(-m^2-p^2+2mp-4n^2)\\ &=(4n^2-4mp)(-4n^2-(m-p)^2)\\ &=-(4n^2-4mp)(4n^2+(m-p)^2)\end{align}$$

بنابراین $\Delta< 0$ پس معادله جواب ندارد.

Comments

fardina@
شما از کجا فهمیدین عبارت آخری منفی ه؟؟

---

@Alireza+Zamani
طبق $*$ عبارت $4n^2-4mp$ مثبته. و عبارت $4n^2+(m-p)^2 $ هم مثبته چون جمع دو عبارت مثبته(توان دو دارند). و ضرب دو عدد مثبت هم مثبته پس $(4n^2-4mp)(4n^2+(m-p)^2)$ مثبته. ولی این عبارت در یک منفی ضرب شده پس دلتا منفی است.

---

fardina@
درسته.ببخشید اشتباه شد

Answer 2

با سلام معادله فوق دو جواب دارد :

به عنوان مثال به ازای m , n , p =1 داریم x=-1

Comments

@Mohsen94
m,n,p رو نمیتونی برابر یک قرار بدی.