رابطه بین سه ضلع مثلث

Question

در مثلث $ABC$ زاویهٔ $ \angle A=2 \angle B$ ، کدام رابطه بین سه ضلع این مثلث برقرار است؟ (ضلع $b$ مقابل زاویه $B$ ، ضلع $a$ مقابل $A$ و ضلع $c$ مقابل $C$ هستند).

1. $a^{۲}=bc$
2. $b^{2}=ac$
3. $a^{2} - b^{2}=bc$
4. $a^{2} - c^{2}=bc$

Answer 1

اگر در مثلث $ABC$ نیمساز زاویۀ $A$ را رسم کنید تا ضلع $BC$ را در $D$ قطع کند، دو مثلث $ABC$ و $DAC$ بنا به خاصیت تساوی دو(سه) زاویه متشابه اند.لذا اگر $BD=x$ و $DC=y$ داریم:

$1) \frac{b}{y} = \frac{c}{AD} = \frac{a}{b} $

$2) \frac{c}{x} = \frac{b}{y} $(خاصیت نیمساز)

$3)x+y=a$

از این سه خاصیت نتیجه می شود:

$a^2-b^2=bc(?)$