کدامیک از دو کسر $\frac{2^{29}+1}{2^{30}+1}$ و $\frac{2^{30}+1}{2^{31}+1}$ بزرگتر است؟

Question

لطفا راهنمایی‌ام کنید که چگونه باید بفهمم کدام‌یک از دو کسر زیر بزرگتر است.

$$\frac{2^{30}+1}{2^{31}+1},\quad \frac{2^{29}+1}{2^{30}+1}$$

Answer 1

دنباله $a_n=\frac{2^n+1}{2^{n+1}+1}$ را در نظر بگیرید در اینصورت این دنباله نزولی است.

برای اثبات نزولی بودن از این استفاده کنید:

چنانچه $a_n$ دنباله ای با جملات مثبت و $\frac{a_n}{a_{n+1}}> 1$ آنگاه $a_n$ نزولی است.

بنابراین $ \frac{2^{29}+1}{2^{30}+1}> \frac{2^{30}+1}{2^{31}+1} $ .

اگر با مبحث دنباله ها آشنایی ندارید فقط نامساوی بالا طرفین وسطین کنید و به روش بازگشتی به یک عبارت همیشه درست برسید.

Answer 2

$$\frac{2^n+1}{2^{n+1}+1} (?) \frac{2^{n+1}+1}{2^{n+2}+1} \Leftrightarrow $$ $$(2^n+1)(2^{n+2}+1) (?) (2^{n+1}+1)^2 \Leftrightarrow $$ $$2^{2n+2}+5 \times 2^n+1 (?) 2^{2n+2}+4 \times 2^n+1 \Leftrightarrow $$ $$2^n (?) 0 \Leftrightarrow 2^n > 0$$

در نتیجه:

$$\frac{2^n+1}{2^{n+1}+1} > \frac{2^{n+1}+1}{2^{n+2}+1}$$

حال با جاگذاری داریم:

$$n=29 \Rightarrow $$ $$\frac{2^{29}+1}{2^{30}+1} > \frac{2^{30}+1}{2^{31}+1}$$

Answer 3

$ \Rightarrow \frac{2^{30}+2}{2^{30}+1}> \frac{2^{31}+2}{2^{31}+1} $ $ \Rightarrow 1+ \frac{1}{2^{30}+1}> 1+ \frac{1}{2^{31}+1} $ $ 2^{30}+1< 2^{31}+1 $

پس

$ 2 \times \frac{2^{29}+1}{2^{30}+1}> 2 \times \frac{2^{30}+1}{2^{31}+1} $

که با گرفتن فاکتور و ساده کردن 2 ازطرفین به جواب می رسیم.