سلام قبل از خواند راه حل. منظور از جمع جایگاه به طور کلی جمع مقدار عددی جایگاه یک عدد است. مثلا جمع جایگاه سه عدد میشود 1 + 2 + 3 = 6 با توضیح: جایگاه اول 1 جایگاه دوم 2 و الی آخر.
راه حل اینگونه است:
اگر در نظر بگیریم عدد k اولین بار در جایگاه i_{k} ام قرار میگیرد. بنا بر این همین k در جایگاه i_{k} + k + 1 ام نیز باید قرار داشته باشد.
میتوانید برای ترکیب 312132 و جایگاه 3 امتحان نمایید k = 3 و i_{k} = 1 جایگاه اول و مشاهده خواهید کرد که ادعای بالا درست است.
اگر S_{n} را مقدار کل جایگاه های موجود در نظر بگیریم، برابر مقدار ذیل خواهد بود:
S_{n}
=
\sum i_{k}
+
\sum (i_{k} + k + 1)
S_{n}
2
\sum i_{k}
+
\sum (k + 1)
که کا از یک تا n تغییر میکند.
حالا سایمنشن (سیگما) دوم برابر است با:
2
+
3
+
4
+
...
+
n+1
=
\frac{n (n+3)}{2}
از طرفی دقت کنید که S_{n} عملا میتواند به شکل زیر نیز محاسبه گردد:
1
+
2
+
3
+
4
+
...
+
2n
چون ما در ترکیب 11 22 33 ... nn به تعداد 2n جایگاه داریم و S_{n} مجموع همه این جایگاه هاست. که حاصل جمع بالا نیز می
شود:
\frac{2n(2n+1)}{2}
لذا با برابری این دو معادله داریم:
\frac{2n(2n+1)}{2}
=
2
\sum i_{k}
+
\frac{n (n+3)}{2}
با حل معادله و ساده سازی به فرم زیر میرسیم:
3
n^2
-
n
=
4
\sum i_{k}
پس سمت چپ باید یک 4K باشد که به دو حالت زیر خواهیم رسید:
n
(3n - 1)
=
4K
یک n میشود صفر یعنی اینکه هر n که بر 4 بخش پذیر باشد پاسخی خواهد داشت. فعلا که 1986 این ویژگی را ندارد.
برای حالت بعدی خواهیم داشت:
3n
1
4K
که چون n قبلی را بر حسب باقیمانده های 4 بررسی کردیم. حالا از تریکی استفاده کنیم که این بار هم ببینیم این n در این حالت چه باقیمانده ای بر 4 خواهد داشت:
n
4i
+
j
3
(
4i
+
j
)
1
12i
+
3j
1
که جمله اول بر چهار بخش پذیر خواهد بود پس حذف میگردد. حالا با قرار دادن j از 0 تا 3 باید ببینیم کدام ضریب j در نهایت با
3j
1
عددی بخش پذیر بر 4 خواهد داد؟
j
3
و در نهاید 4i + j میشود:
4i
+
3
این یعنی اعداد با باقیمانده 3 نیز این شرط را دارا هستند که 1986 این شرط را هم ندارد. بنابر این پاسخ ما صفر جایگشت خواهد بود.
با تشکر از توجه شما!!!
