صورت مسئله از ما می‌خواهد طولانی‌ترین مسیری را پیدا کنیم که یک مورچه مجبور به طی کردن آن روی سطح یک جعبه با ابعاد $1 \times 1 \times 2$ می‌شود. مورچه همیشه هوشمندانه عمل کرده و کوتاه‌ترین مسیر ممکن را انتخاب می‌کند.
گام اول: تعیین نقطه شروع و پایان
مورچه از یک گوشه (راس) جعبه حرکت خود را آغاز می‌کند. برای اینکه او را وادار به پیمودن طولانی‌ترین مسیر کنیم، باید غذا را در نقطه‌ای قرار دهیم که از نظر مسافت روی سطح، "دورترین" نقطه به او باشد. این نقطه، راسِ قطریِ مقابلِ نقطه شروع است.
گام دوم: یافتن کوتاه‌ترین مسیر روی سطح
کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه روی سطح یک مکعب مستطیل، یک خط راست روی الگوی باز شده‌ی آن جعبه است. ما باید جعبه را به روش‌های مختلف باز کنیم تا تمام مسیرهای ممکن را پیدا کرده و کوتاه‌ترین آن‌ها را مشخص کنیم.
فرض کنید ابعاد جعبه عبارتند از: طول ($L=2$)، عرض ($W=1$) و ارتفاع ($H=1$).
برای رسیدن از یک گوشه به گوشه‌ی مقابل، سه مسیر اصلی روی سطح باز شده وجود دارد که با استفاده از قضیه فیثاغورس می‌توان طول آن‌ها را محاسبه کرد:
۱. باز کردن جعبه در راستای طول و ارتفاع: در این حالت، یک مستطیل با ابعاد $L$ و $(W+H)$ خواهیم داشت. طول مسیر ($d_1$) برابر است با وتر این مثلث قائم‌الزاویه:
$$d_1 = \sqrt{L^2 + (W+H)^2} = \sqrt{2^2 + (1+1)^2} = \sqrt{4 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8}$$
۲. باز کردن جعبه در راستای طول و عرض: در این حالت، یک مستطیل با ابعاد $H$ و $(L+W)$ خواهیم داشت. طول مسیر ($d_2$) برابر است با:
$$d_2 = \sqrt{H^2 + (L+W)^2} = \sqrt{1^2 + (2+1)^2} = \sqrt{1 + 3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$$
۳. باز کردن جعبه در راستای عرض و ارتفاع: در این حالت، یک مستطیل با ابعاد $L$ و $(W+H)$ خواهیم داشت. این حالت مشابه حالت اول است چون عرض و ارتفاع هر دو برابر با $1$ هستند.
(اگر ابعاد هر سه متفاوت بودند، مسیر سوم نیز متفاوت محاسبه می‌شد: $d_3 = \sqrt{W^2 + (L+H)^2}$)
گام سوم: انتخاب مورچه و نتیجه‌گیری
مورچه با سه مسیر ممکن با طول‌های $\sqrt{8}$ و $\sqrt{10}$ و $\sqrt{10}$ روبروست. از آنجایی که مورچه همیشه کوتاه‌ترین مسیر را انتخاب می‌کند، مسیری را انتخاب خواهد کرد که طول آن برابر با کمترین مقدار از این اعداد است:
$$\text{کوتاه‌ترین مسیر} = \min(\sqrt{8}, \sqrt{10}) = \sqrt{8}$$
این مقدار، یعنی $\sqrt{8}$، طولانی‌ترین "کوتاه‌ترین مسیر" ممکن روی این جعبه است. اگر غذا را در هر نقطه دیگری قرار دهیم، مورچه می‌تواند مسیر کوتاه‌تری پیدا کند. بنابراین، با قرار دادن غذا در راس مقابل، مورچه را مجبور می‌کنیم مسافتی برابر با $\sqrt{8}$ طی کند.
پاسخ نهایی:
طولانی‌ترین فاصله‌ای که مورچه مجبور به طی آن می‌شود برابر با $\sqrt{8}$ (یا $2\sqrt{2}$) است.
