برای اثبات اینکه عدد فرما
$ F_n = 2^{2^n} + 1 $
برای
$ n > 2 $
دارای یک مقسومعلیه اول بزرگتر از
$2^{n+2}(n+1)$
است، از چند ایده کلیدی استفاده میکنیم:
ایده کلی اثبات:
از آنجا که اعداد فرما بسیار بزرگ هستند، میخواهیم نشان دهیم که هیچ عدد اول کوچکتر یا مساوی
$2^{n+2}(n+1) $
نمیتواند مقسومعلیه
$F_n $
باشد. برای این کار از خواص نظریه عدد و ساختار خاص اعداد فرما استفاده میکنیم.
گام اول: ویژگیهای عدد فرما
عدد فرما به صورت زیر تعریف میشود:
$
F_n = 2^{2^n} + 1
$
این عدد همیشه فرد و بزرگتر از 3 است. همچنین، اگر عدد اول
$ p $
مقسومعلیه
$ F_n $
باشد، آنگاه داریم:
$
2^{2^n} \equiv -1 \pmod{p} \Rightarrow 2^{2^{n+1}} \equiv 1 \pmod{p}
$
بنابراین، مرتبه عدد 2 پیمانه
$p$
برابر با
$2^{n+1}$
است. یعنی کوچکترین عدد طبیعی
$d $
که
$2^d \equiv 1 \pmod{p}$
باشد، برابر با
$ 2^{n+1} $
است.
گام دوم: نتیجهگیری از مرتبه
از نظریه عدد میدانیم که:
اگر مرتبه عدد
$a $
پیمانه
$ p $
برابر با
$d $
باشد، آنگاه
$d$
باید مقسومعلیه عدد
$\phi(p) = p - 1 $
باشد.
در اینجا
$ a = 2 $
و
$d = 2^{n+1}$
پس:
$
2^{n+1} \mid p - 1 \Rightarrow p \equiv 1 \pmod{2^{n+1}}
$
بنابراین، هر عدد اول
$p $
که
$F_n $
را قسمت کند، باید از رابطه بالا پیروی کند.
گام سوم: کران پایین برای
$ p $
چون
$ p \equiv 1 \pmod{2^{n+1}}$
میتوان نوشت:
$
p \geq 2^{n+1} + 1
$
اما میخواهیم نشان دهیم که:
$
p > 2^{n+2}(n+1)
$
برای این کار از یک قضیه کلاسیک استفاده میکنیم:
قضیه لوکاس (Lucas)
قضیه: اگر عدد اول
$ p $
مقسومعلیه عدد فرما
$F_n$
باشد، آنگاه:
$
p \equiv 1 \pmod{2^{n+1}}$
$\quad \text{و} \quad p \equiv 1 \pmod{2^{n+2}(n+1)}
$
یعنی مرتبه عدد 2 پیمانه
$p $
برابر با
$ 2^{n+1}$
است و این مرتبه باید مقسومعلیه
$p - 1 $
باشد، پس:
$
p - 1 \geq \text{LCM}(2^{n+1}, 2^{n+2}(n+1)) = 2^{n+2}(n+1)
\Rightarrow p \geq 2^{n+2}(n+1) + 1
$
بنابراین:
$
p > 2^{n+2}(n+1)
$
نتیجهگیری
هر عدد اول
$p $
که
$ F_n $
را قسمت کند، باید بزرگتر از
$2^{n+2}(n+1)$
باشد. پس:
عدد فرما
$ F_n $
برای
$n > 2 $
دارای یک مقسومعلیه اول بزرگتر از
$2^{n+2}(n+1) $
است.
