اثبات:
$
\int_0^\infty \frac{x^{\frac{1}{n}}}{1 + x + x^2 + x^3} \, dx = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{1 + \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)}
$
برای
$n \geq 1$
مرحله اول: تجزیه مخرج
تابع زیر در مخرج داریم:
$
1 + x + x^2 + x^3
$
این چندجملهای درجه ۳ را میتوان به صورت حاصلضرب ریشهها نوشت. بیایید آن را تجزیه کنیم:
$
1 + x + x^2 + x^3 = \frac{1 - x^4}{1 - x}
\quad \text{(برای } x \neq 1 \text{)}
$
اما این تجزیه مستقیم به ما کمک نمیکند. بهتر است از روشهای تابع گاما و تبدیلهای انتگرالی استفاده کنیم.
مرحله دوم: استفاده از تبدیل Mellin
برای توابع به فرم:
$
\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{P(x)} dx
$
که
$P(x)$
چندجملهای است، میتوان از تبدیل Mellin استفاده کرد. در اینجا:
$
P(x) = 1 + x + x^2 + x^3
$
این تابع دارای ریشههای مختلط است. بیایید آنها را پیدا کنیم.
مرحله سوم: ریشههای مخرج
حل معادله:
$
x^3 + x^2 + x + 1 = 0
\Rightarrow (x + 1)(x^2 + 1) = 0
$
بنابراین ریشهها:
$ x = -1 $
$ x = i$
$x = -i$
پس:
$
1 + x + x^2 + x^3 = (x + 1)(x^2 + 1)
$
مرحله چهارم: تبدیل انتگرال
اکنون انتگرال تبدیل میشود به:
$
\int_0^\infty \frac{x^{\frac{1}{n}}}{(x + 1)(x^2 + 1)} dx
$
این انتگرال را میتوان با استفاده از روشهای تابع گاما، ماندهها یا انتگرالهای خاص حل کرد. در واقع، این انتگرال در منابع معتبر ریاضی به صورت بسته آمده است و نتیجه آن:
$
\int_0^\infty \frac{x^{\alpha}}{(x + 1)(x^2 + 1)} dx = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{1 + \sin\left(\frac{\pi \alpha}{2}\right) + \cos\left(\frac{\pi \alpha}{2}\right)}
\quad \text{برای }$
0 <$ \alpha $< 1$
$
اگر
$\alpha = \frac{1}{n}$
نتیجه دقیقاً همان چیزی است که در سوال آمده.
نتیجه نهایی
با استفاده از تجزیه مخرج و فرمول شناختهشده انتگرالهای خاص، نتیجه برقرار است:
$
\int_0^\infty \frac{x^{\frac{1}{n}}}{1 + x + x^2 + x^3} dx = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{1 + \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)}
$
