Question

با فرض $0 \leq a < b$ وf بر بازه [a,b]نامنفی، اکیدا صعودی و پیوسته باشد آنگاه ثابت کنید:

$ \int _a^bf(x)dx+ \int _ {f(a)} ^ {f(b)} f^{-1}(y) dy=bf(b)-af(a)$

Answer 1

چون $f$ تابعی اکیدا صعودی است، انتگرال

$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx+ \int_{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(y)dy$

معادل است با مجموع مساحت زیر نمودار $f$ و بین محور $x$ ها با مساحت محصور بین نمودار تابع $f$ با محور $y$ ها. که در واقع اگر شکل را با توجه به توضیحات رسم کنیم، مانند آن است که از مستطیلی با طول و عرض $b,f(b)$ مستطیلی با طول و عرض $a,f(a)$ را کم کنیم. پس در واقع مساحت شکل برابر است با تفریق مساحت مستطیل ها که همان $bf(b) – af(a)$ است.

Answer 2

با سلام.

چون $f$ تابعی اکیدا صعودی است، انتگرال

$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx+ \int_{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(y)dy$

معادل است با مجموع مساحت زیر نمودار $f$ و بین محور $x$ ها با مساحت محصور بین نمودار تابع $f$ با محور $y$ ها. که در واقع اگر شکل را با توجه به توضیحات رسم کنیم، مانند آن است که از مستطیلی با طول و عرض $b,f(b)$ مستطیلی با طول و عرض $a,f(a)$ را کم کنیم. پس در واقع مساحت شکل برابر است با تفریق مساحت مستطیل ها که همان $bf(b) – af(a)$ است.