$f(a,b,c)= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{6}{a+b+c} $
باید ثابت کنیم:
$f(a,b,c) \geq f(a, \sqrt{bc} , \sqrt{bc} )$
داریم:
$f(a,b,c) \geq f(a, \sqrt{bc} , \sqrt{bc} ) \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{6}{a+b+c} \geq \frac{1}{ \sqrt{ab} } + \frac{6}{a+2 \sqrt{bc} } \Leftrightarrow c(a+b+c)(a+2 \sqrt{bc}) +b(a+b+c)(a+2 \sqrt{bc} )+6bc(a+2 \sqrt{bc}) \geq 2 \sqrt{bc} (a+b+c) (a+2 \sqrt{bc})+6bc(a+b+c) \Leftrightarrow ( \sqrt{b} - \sqrt{c} )^{2} ((a+b+c)(a+2 \sqrt{bc} -6bc) \geq 0.$ (1)
با فرض
$a \leq b \leq c \Rightarrow a \leq \frac{b+c}{2} \leq \sqrt{bc} $
بنابراین
$(a+b+c)(a+2 \sqrt{bc} ) \geq ( \sqrt{bc} + 2\sqrt{bc} ( \sqrt{bc} +2 \sqrt{bc} )=9bc \geq 6bc.$
با توجه به (۱) داریم:
$f(a,b,c) \geq f(a, \sqrt{bc} , \sqrt{bc} )$
با توجه به تئوری SMV باید ثابت کنیم:
$f(a,t,t) \geq 5 ,a t^{2} =1$
$f(a,t,t) \geq 5 \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{2} + \frac{6}{a+2t} \geq 5$
که معادل است با:
$ (t-1)^{2}(2 t^{4}+4 t^{3} -4 t^{2} -t+2) \geq 0.$
که درست است زیرا به ازای t های مثبت داریم:
$(2 t^{4} +4 t^{3} -4 t^{2} -t+2) > 0.$
