Question

تمام توابع f از مجموعه اعداد صحيح و مثبت به مجموعه اعداد صحيح و مثبت را بیابید که برای هر دو عدد صحيح و مثبت a,b;یک مثلث ناتبهگون با اضلاع

$a,f(b),f(b+f(a)-1)$

وجود داشته باشد. (مثلث ناتبهگون مثلثی است که رئوس آن هم خط نیستند.)

Answer 1

برای اینکه سه عدد $a, f(b), f(b+f(a)-1)$بتوانند اضلاع یک مثلث ناتبه‌گون باشند، باید از نامساوی مثلث پیروی کنند. یعنی:

شرط وجود مثلث: برای هر سه عدد مثبت $ x, y, z $، این سه عدد می‌توانند اضلاع یک مثلث ناتبه‌گون باشند اگر و فقط اگر: - ( x + y > z ) - ( x + z > y ) - ( y + z > x )

در مسئله ما، این سه ضلع هستند: - ( a ) - ( f(b) ) - ( f(b + f(a) - 1) )

بنابراین باید برای همه

$a, b \in \mathbb{N}$

اعداد صحیح و مثبت)، این سه شرط برقرار باشند:

1. ( a + f(b) > f(b + f(a) - 1) )
2. ( a + f(b + f(a) - 1) > f(b) )
3. ( f(b) + f(b + f(a) - 1) > a )

---

تحلیل تابع:

برای ساده‌سازی، فرض کنیم تابع ( f(n) = cn + d ) خطی باشد. بررسی می‌کنیم آیا چنین تابعی می‌تواند شرایط بالا را برای همه ( a, b ) برقرار کند.

فرض کنید: - ( f(n) = n )

آنگاه: - ( f(b) = b )

$f(b + f(a) - 1) = f(b + a - 1) = b + a - 1$

بررسی شرط اول:

$a + b > b + a - 1 \Rightarrow $

درست است چون

$a + b > a + b - 1$

شرط دوم: $a + (b + a - 1) > b \Rightarrow$ $2a + b - 1 > b \Rightarrow$ $ 2a - 1 > 0 \Rightarrow$ $ a > \frac{1}{2}$ که برای $a \in \mathbb{N}$ همیشه برقرار است.

شرط سوم: $ b + (b + a - 1) > a \Rightarrow$ $ 2b + a - 1 > a \Rightarrow $ $2b - 1 > 0 \Rightarrow$ $b > \frac{1}{2}$ که برای $b \in \mathbb{N} $

برقرار است.

پس تابع $ f(n) = n$ یکی از جواب‌هاست.

---

نتیجه‌گیری:

تابع‌هایی که به صورت صعودی و با رشد کافی باشند، می‌توانند این شرایط را برقرار کنند. به طور خاص:

تمام توابع

$f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$

که برای هر $ n $ داشته باشیم:

$f(n) \geq n$ - و تابع به اندازه کافی سریع رشد کند تا نامساوی‌های مثلث برقرار باشند

از جمله:

$f(n) = n$

$ f(n) = n + k $ برای $k \in \mathbb{N}$

$ f(n) = cn + d $ با $c \geq 1$ , $ d \geq 0 $

برای بررسی اینکه آیا تابع

$f(n) = kn + c$ با

$k, c \in \mathbb{N}$

شرایط مسئله را برآورده می‌کند، باید بررسی کنیم که آیا برای

هر دو عدد صحیح و مثبت( a, b$ )$، سه عدد زیر می‌توانند اضلاع یک مثلث ناتبه‌گون باشند:

$ a,\ f(b),\ f(b + f(a) - 1) $

---

مرحله اول: محاسبه مقادیر تابع

با فرض $ f(n) = kn + c$ ، داریم:

$ f(b) = kb + c$

$f(a) = ka + c$ - بنابراین: $ f(b + f(a) - 1) = f(b + ka + c - 1) = k(b + ka + c - 1) + c = kb + k^2a + kc - k + c $

پس سه ضلع مثلث عبارت‌اند از:

$a$ $kb + c$ $kb + k^2a + kc - k + c$

---

مرحله دوم: بررسی شرط‌های تشکیل مثلث

برای اینکه این سه عدد بتوانند اضلاع یک مثلث ناتبه‌گون باشند، باید مجموع هر دو ضلع از ضلع سوم بیشتر باشد.

شرط 1:

$a + f(b) > f(b + f(a) - 1)$

یعنی: $ a + kb + c > kb + k^2a + kc - k + c \Rightarrow a > k^2a + kc - k \Rightarrow a(1 - k^2) > kc - k $

این نابرابری برای همه

$a \in \mathbb{N}$ برقرار نیست مگر اینکه

$k = 1$

---

بررسی حالت خاص:

$ k = 1$

اگر $f(n) = n + c$ ، آنگاه:

$f(b) = b + c$ $f(a) = a + c$ $ f(b + f(a) - 1) = f(b + a + c - 1) = b + a + 2c - 1$

اضلاع مثلث:

$a $

$ b + c$

$ b + a + 2c - 1$

بررسی شرط‌ها:

1. $a + (b + c) > b + a + 2c - 1$ $ \Rightarrow a + b + c > a + b + 2c - 1$ $\Rightarrow c > -1 $ چون

   $c \geq 0$

2. $a + (b + a + 2c - 1) > b + c $ $\Rightarrow 2a + b + 2c - 1 > b + c$ $\Rightarrow 2a + c - 1 > 0 $ چون

$a \geq 1$

3. $ (b + c) + (b + a + 2c - 1) > a \Rightarrow$ $2b + a + 3c - 1 > a \Rightarrow$

$2b + 3c - 1 > 0$

چون $b \geq 1 $

همه شرط‌ها برقرارند.

---

نتیجه نهایی:

تابع $ f(n) = kn + c$ فقط زمانی شرایط مسئله را برآورده می‌کند که:

$ k = 1,\quad c \in \mathbb{N}_0 \Rightarrow f(n) = n + c $

در غیر این صورت، شرط‌های تشکیل مثلث ناتبه‌گون برای همه $a, b \in N $ برقرار نخواهند بود.

Comments

درود
راه شما استدلال درستی پشتش نیست. شما اثبات نکردید که تابع دیگه ای نمیتونه توی مسئله صدق کنه.

Answer 2

برای هر a و b طبیعی داریم $$a+f(b) >f(b+f(a) - 1) \quad (1)$$ $$a+f(b+f(a) - 1)>f(b) \quad (2)$$

$$f(b) +f(b+f(a) - 1) >a \qquad (3)$$

اولا f(1)=1، در دو رابطه اول a=1 قرار دهید

ثانیاf(f(a)) =a در دو رابطه اول b=1 قرار دهید و از f(1)=1 هم استفاده کنید.

ثالثا تابعfیک به یک است. حال به اسقرا ثابت می کنیم که برای هر n طبیعی f(n) =n. برای n=1, واضح است فرض کنیدk کوچکتر مقدار طبیعی باشد که تساوی بر قرار نیست. بنابراین f(k) بزرگتر ازk می باشه. چرا؟ مقدارf(k) =m می گیریم که بزرگتر از k می باشه و f(m) =k حال a=k و b=m در رابطه 1 بکار می بریم $$2k>f(2m-1) $$ حال a=m وb=k در رابطه 1 $$2m>f(2k-1) $$ از دو رابطه اخیر نتیجه می شه که $$1-2m \geq f(2m-1):=t \geq k $$ بنابراین t پیدا کردیم که $$1-2k\geq t \geq k, \quad f(t) >t $$

پس یک مقدار t پیدا شد مثل k همین تناقض است،چرا؟

درنتیجه f(k) =k.

Comments

درود
یک به یک بودن تابع رو از کجا پیدا کردید؟

---

اگرf(u) =f(v) آنگاه با یک f گرفتن از طرفین و قسمت ثالثا خواهیم داشت u=v.

---

متوجه نشدم منظور شما رو. شما نوشتید
f(f(a))=1 در صورتی که تابعی که پیدا کردید هست:
f(x)=x. فکر کنم باید درستش کنید و بنویسید:
f(f(a))=a

---

کاملا درسته ممنون از توجه تون

---

سلامت باشید