Question

مطلوب است محاسبه انتگرال زیر:

$ \int \frac{Arctanx- \frac{ e^{lnx} }{1+ x^{2} } }{(Arctanx)^2}dx$

با استفاده از روشن جزء به جزء جواب: $ \frac{x}{Arctanx} +C$

Answer 1

$$\int \frac{Arctanx- \frac{e^{Lnx}}{1+x^2}}{(Arctanx)^2}dx=\int \frac{Arctanx- \frac{x}{1+x^2}}{(Arctanx)^2}dx$$

$$= \int \frac{dx}{Arctanx}-\int x.\frac{ \frac{1}{1+x^2} }{(Arctanx)^2}dx=\int \frac{dx}{Arctanx}- \int x.d( \frac{-1}{Arctanx} )$$

$$=\int \frac{dx}{Arctanx}+\int x.d( \frac{1}{Arctanx} )$$

$$=\int \frac{dx}{Arctanx}+ \frac{x}{Arctanx}- \int \frac{dx}{Arctanx} $$

$$=\frac{x}{Arctanx}+C$$

$ \Box $