Question

اگر داشته باشیم:

$$ \int _0^ \pi \frac{cosx}{ (x+2)^{2} }dx=A $$

آنگاه:

$$\int _0^ \frac{ \pi }{2} \frac{sinxcosx}{x+1}dx=?$$

Answer 1

$$I=\int_0^ \frac{ \pi }{2} \frac{sinxcosx}{x+1} dx=\int_0^ \frac{ \pi }{2} \frac{ \frac{1}{2} sin2x}{x+1} dx=\int_0^ \frac{ \pi }{2} \frac{1}{x+1} d(-\frac{1}{4}cos2x)$$

$$=- \frac{cos2x}{4(x+1)}|_0^ \frac{ \pi }{2}+\frac{1}{4}\int_0^ \frac{ \pi }{2} \frac{cos2x}{(x+1)^2} dx= \frac{1}{2( \pi +2)}+ \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\int_0^ \frac{ \pi }{2} \frac{cos2x}{(x+1)^2} dx$$

حالا در انتگرال اخیر تغییرمتغیر $u:=2x$ را بکار بگیرید.پس داریم:

$$dx=\frac{1}{2}du,u(0)=0,u( \frac{ \pi }{2})= \pi$$

$$ \Rightarrow I=\frac{1}{2( \pi +2)}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}\int_0^ \pi \frac{cosu}{( \frac{u}{2} +1)^2} du=\frac{1}{2( \pi +2)}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{2}\int_0^ \pi \frac{cosu}{(u +2)^2} du$$

$$=\frac{1}{2( \pi +2)}+ \frac{1}{4}+\frac{1}{2}A$$

$\Box$