برای اثبات انتگرال زیر با استفاده از تبدیل لاپلاس و فوریه، باید چند مرحله تحلیلی را طی کنیم:
$$
\int_0^\infty t^{\mu -1} \ln x \cos(at) \, dt = -\frac{\pi}{2 a^\mu} \Gamma(\mu) \left( \ln a + \psi\left( \frac{\mu}{2} \right) \right)
$$
مراحل اثبات با تبدیل فوریه و لاپلاس
- استفاده از تبدیل فوریه تابع $t^{\mu -1} \ln t$
تبدیل فوریه تابع $ f(t) = t^{\mu -1} \ln t$ به صورت زیر تعریف میشود:
$$
\mathcal{F}\{f(t)\}(\omega) = \int_0^\infty t^{\mu -1} \ln t \, e^{-i\omega t} dt
$$
این تبدیل را میتوان با استفاده از مشتقگیری نسبت به پارامتر در تبدیل فوریه تابع$ t^{\mu -1}$ به دست آورد.
- استفاده از تبدیل لاپلاس برای $ t^{\mu -1} \ln t$
تبدیل لاپلاس تابع $ f(t) = t^{\mu -1} \ln t $برابر است با:
$$
\mathcal{L}\{t^{\mu -1} \ln t\}(s) = \Gamma(\mu) \left( \frac{\ln s - \psi(\mu)}{s^\mu} \right)
$$
که در آن $psi(\mu) $تابع دیگاما است.
- ارتباط بین تبدیل لاپلاس و فوریه
با استفاده از تبدیل فوریه زوج تابع $t^{\mu -1} \ln t$، میتوان انتگرال اصلی را به صورت تبدیل فوریه در نقطه $omega = a$نوشت:
$$
\int_0^\infty t^{\mu -1} \ln t \cos(at) dt = \Re\left\{ \int_0^\infty t^{\mu -1} \ln t \, e^{iat} dt \right\}
$$
و این مقدار را میتوان با استفاده از تبدیل لاپلاس در
$s = -ia$محاسبه کرد.
- نتیجه نهایی
با استفاده از روابط بالا و خواص تابع گاما و دیگاما، نتیجه نهایی به صورت زیر به دست میآید:
$$
\int_0^\infty t^{\mu -1} \ln t \cos(at) dt = -\frac{\pi}{2 a^\mu} \Gamma(\mu) \left( \ln a + \psi\left( \frac{\mu}{2} \right) \right)
$$
