مطلوب است اثبات رابطه زیر: $ \sum _ {n=1} ^ \infty \sum_ {m=1} ^ \infty \frac{1}{ m^{4} n^{2} ( m^{2} + n^{2} )}= \frac{ \pi ^{8} }{16200} $

Question

مطلوب است اثبات رابطه زیر:

$\displaystyle \sum _ {n=1} ^ \infty \sum_ {m=1} ^ \infty \frac{1}{ m^{4} n^{2} ( m^{2} + n^{2} )}= \frac{ \pi ^{8} }{16200} $

Answer 1

$\displaystyle S=\sum_{n=1}^{\infty }\sum_{m=1}^{\infty }\frac{1}{m^{4}n^{2}(m^{2}+n^{2})}=\sum_{m=1}^{\infty }\sum_{n=1}^{\infty }=\frac{1}{n^{4}m^{2}(m^{2}+n^{2})}\Longrightarrow 2S=\sum_{m=1}^{\infty }\sum_{n=1}^{\infty }\left( \frac{1}{m^{4}n^{2}(m^{2}+n^{2})} +\frac{1}{n^{4}m^{2}(m^{2}+n^{2})}\right) =\sum_{m=1}^{\infty }\sum_{n=1}^{\infty }\left( \frac{m^{2}+n^{2}}{m^{4}n^{4}(m^{2}+n^{2})} \right)=\left( \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{4}} \right)^{2}=\left( \frac{\pi^{4}}{90} \right)^{2}\Longrightarrow S=\frac{\pi^{8}}{90^{2}×2}=\frac{\pi^{8}}{16200}$

Comments

دوتا سیکما چکونه به یک سیکما تبدیل شد و مهمتر. چرا بر حسب پی شد

---

با هم جمع شدن سیگما ها.
علت اینکه جواب بر حسب عدد پی شده مربوط به تابع زتای ریمان و قضیه بازل هست.

Answer 2

$S= \sum _ {m,n \geq 1} \frac{1}{ n^{4} m^{2} ( m^{2} + n^{2} )} $

که از تغییر جای m,n حاصل شده است.

$2S= \sum _ {m,n \geq 1} ( \frac{1}{ m^{4} n^{2} ( m^{2} + n^{2} )} + \frac{1}{ n^{4} m^{2} ( m^{2} + n^{2} )} )= \sum _ {m,n \geq 1}( \frac{ m^{2} + n^{2} }{ m^{4} n^{4} ( m^{2} + n^{2} )} )= \sum _ {m,n \geq 1} \frac{1}{ m^{4} n^{4} } = ( \sum _ {m=1} ^ \infty \frac{1}{ m^{4} } )^{2} = \zeta (4)^{2} $

از آنجا که

$ \zeta (4)= \frac{ \pi ^{4} }{90} $

بعد از توان دو و اعمال ضریب ۲ در مخرج نتیجه حاصل می‌شود.

Answer 3

سری

$$\sum_{n=1}^ \infty \sum_{m=1}^ \infty \frac{1}{n^ \alpha m^\beta}$$

همگراست اگر و تنها اگر $ \alpha , \beta >1$.(چرا؟).

حالا بنا به آزمون مقایسه سری مسأله ما همگراست زیرا:

$$0<\frac{1}{m^4n^2(m^2+n^2)} \leq \frac{1}{m^4n^2},2,4>1$$

حالا اگر جمله عمومی را با $a_{(n,m)}$ نشان دهیم و مقدار سری مکرر را با $s$، نبوغ چزارو ثابت کرد که اگر سری $ \sum_{n=1}^\infty a_{(n,m)}$ به $A_m$ و سری $ \sum_{m=1}^ \infty a_{(n,m)}$ به $B_n$ همگرا باشد آنگاه

$$\sum_{m=1}^ \infty A_m= \sum_{n=1}^ \infty B_n=s$$

در واقع این همان جابجایی سیگماهاست. با این توضیحات داریم:

$$\sum_{n=1}^ \infty \sum_{m=1}^ \infty\frac{1}{m^2n^4(m^2+n^2)}=\sum_{n=1}^ \infty \sum_{m=1}^ \infty\frac{1}{n^4m^2(m^2+n^2)}=\sum_{m=1}^ \infty \sum_{n=1}^ \infty\frac{1}{n^2m^4(n^2+m^2)}$$

$$=\sum_{m=1}^ \infty \sum_{n=1}^ \infty\frac{1}{m^4n^2(m^2+n^2)}=\sum_{n=1}^ \infty \sum_{m=1}^ \infty\frac{1}{n^2m^4(n^2+m^2)}=s$$

$$2s=s+s=\sum_{n=1}^ \infty \sum_{m=1}^ \infty\frac{1}{m^4n^2(m^2+n^2)}+\sum_{n=1}^ \infty \sum_{m=1}^ \infty\frac{1}{m^2n^4(m^2+n^2)}$$

$$=\sum_{n=1}^ \infty \sum_{m=1}^ \infty\frac{m^2+n^2}{m^4n^4(m^2+n^2)}=\sum_{n=1}^ \infty \sum_{m=1}^ \infty\frac{1}{m^4n^4}=\sum_{n=1}^ \infty \frac{1}{n^4}\sum_{m=1}^ \infty\frac{1}{m^4}$$

$$=\sum_{n=1}^ \infty \frac{1}{n^4}.\frac{\pi^4}{90^2}=\frac{\pi^4}{90^2}.\sum_{n=1}^ \infty \frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90^2}.\frac{\pi^4}{90^2}=\frac{\pi^8}{90^4}$$

$$ \Rightarrow s=\frac{\pi^8}{2 \times 90^4}$$

$\Box$