۱. تعریف مجموعهها
· S : مجموعه دانشآموزان کلاس $ |S| = 30 $
· F : فرزند اول خانواده $ |F| = 15 $
· T : عضو تیم فوتبال$ |T| = 10 $
· M : شاگرد ممتاز$ |M| = 11 $
۲. اطلاعات دادهشده
(۱)
$|T \cap M| = 6 $
نفر ممتاز و فوتبالی هستند.
(۲)
از این ۶ نفر، یک نفر فرزند اول خانواده نیست.
پس
$ |F \cap T \cap M| = 6 - 1 = 5 .$
یعنی ۵ نفر در اشتراک سهگانه
$F \cap T \cap M $
هستند.
(۳)
$ |F \cap M \cap T^c| = 2$ نفر فرزند اول و ممتاز هستند ولی فوتبالیست نیستند.
( $T^c$ یعنی عضو تیم فوتبال نیستند.)
(۴)
"هرکس که فرزند اول و فوتبالیست است، شاگرد ممتاز نیز هست."
یعنی $ F \cap T \subset M$ .
پس $ F \cap T \cap M^c = \varnothing $.
از (۲) میدانیم
$ |F \cap T \cap M| = 5$
، پس
$ |F \cap T| = 5 $
(چون همهی بچههای $ F \cap T $در M هم هستند).
۳. محاسبه مقادیر نمودار ون
مناطق نمودار ون برای سه مجموعه F, T, M را شمارهگذاری میکنیم:
- $F \cap T \cap M$
- $F \cap T \cap M^c $
- $ F \cap T^c \cap M $
- $F \cap T^c \cap M^c $
- $ F^c \cap T \cap M $
- $F^c \cap T \cap M^c $
- $ F^c \cap T^c \cap M $
- $ F^c \cap T^c \cap M^c $
مقادیر معلوم:
· $ x_1 = |F \cap T \cap M| = 5 $
· $x_2 = |F \cap T \cap M^c| = 0$ (طبق شرط ۴)
· $x_3 = |F \cap T^c \cap M| = 2 $ (طبق شرط ۳)
· $x_5 = |F^c \cap T \cap M| = 1 (چون |T \cap M| = 6 و x_1 = 5 پس x_5 = 1 )$
محاسبه
$x_4$ :
$ |F| = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 15
5 + 0 + 2 + x_4 = 15
x_4 = 8 $
محاسبه
$ x_6$ :
$|T| = x_1 + x_2 + x_5 + x_6 = 10
5 + 0 + 1 + x_6 = 10
x_6 = 4 $
محاسبه
$ x_7$ :
$|M| = x_1 + x_3 + x_5 + x_7 = 11
5 + 2 + 1 + x_7 = 11
x_7 = 3 $
محاسبه $ x_8 $:
$ |S| = 30 = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 + x_8
30 = 5 + 0 + 2 + 8 + 1 + 4 + 3 + x_8
30 = 23 + x_8
x_8 = 7 $
۴. خلاصه مناطق:
$\begin{aligned}
&F \cap T \cap M: 5 \\
&F \cap T \cap M^c: 0 \\
&F \cap T^c \cap M: 2 \\
&F \cap T^c \cap M^c: 8 \\
&F^c \cap T \cap M: 1 \\
&F^c \cap T \cap M^c: 4 \\
&F^c \cap T^c \cap M: 3 \\
&F^c \cap T^c \cap M^c: 7
\end{aligned}$
۵. نمودار ون
اگر نمودار ون را به صورت سه دایره F, T, M رسم کنیم:
· داخل
$ F \cap T \cap M$ : عدد 5
· $F \cap T $
فقط همین 5 است
(قسمت $ M^c $ ندارد).
· $F \cap M \cap T^c$ : عدد 2
· $F \cap T^c \cap M^c $: عدد 8
· $ T \cap M \cap F^c $: عدد 1
· $T \cap M^c \cap F^c $: عدد 4
· $ M \cap F^c \cap T^c $: عدد 3
· خارج هر سه دایره: عدد 7
بررسی جمعها:
$F: 5 + 0 + 2 + 8 = 15 \quad \checkmark$
$T: 5 + 0 + 1 + 4 = 10 \quad \checkmark$
$M: 5 + 2 + 1 + 3 = 11 \quad \checkmark$
$\text{کل}: 5+0+2+8+1+4+3+7 = 30 \quad \checkmark$
اگر بخواهید نمودار ون را روی کاغذ بکشید، سه دایره با برچسب F, T, M بکشید و اعداد بالا را در مناطق مربوطه بنویسید.
