Question

از $30$ دانش آموز یک کلاس $15$ نفر فرزند اول خانواده و $10$ نفر عضو تیم فوتبال و $11$ نفر شاگرد ممتاز هستند.و $6$ نفر ممتاز و فوتبالی هستند که یک نفر فرزند اول خانواده نیست. $2$ نفر فرزند اول و ممتاز هستند اما فوتبالیست نیستند. اما هرکس که فرزند اول و فوتبالیست است شاگرد ممتاز نیز هست. با این توضیحات نمودار ون را رسم کنید.

Answer 1

۱. تعریف مجموعه‌ها

· S : مجموعه دانش‌آموزان کلاس $ |S| = 30 $

· F : فرزند اول خانواده $ |F| = 15 $

· T : عضو تیم فوتبال$ |T| = 10 $

· M : شاگرد ممتاز$ |M| = 11 $

---

۲. اطلاعات داده‌شده

(۱) $|T \cap M| = 6 $ نفر ممتاز و فوتبالی هستند.

(۲) از این ۶ نفر، یک نفر فرزند اول خانواده نیست. پس $ |F \cap T \cap M| = 6 - 1 = 5 .$ یعنی ۵ نفر در اشتراک سه‌گانه $F \cap T \cap M $ هستند.

---

(۳) $ |F \cap M \cap T^c| = 2$ نفر فرزند اول و ممتاز هستند ولی فوتبالیست نیستند. ( $T^c$ یعنی عضو تیم فوتبال نیستند.)

---

(۴) "هرکس که فرزند اول و فوتبالیست است، شاگرد ممتاز نیز هست." یعنی $ F \cap T \subset M$ . پس $ F \cap T \cap M^c = \varnothing $.

از (۲) می‌دانیم $ |F \cap T \cap M| = 5$ ، پس $ |F \cap T| = 5 $ (چون همه‌ی بچه‌های $ F \cap T $در M هم هستند).

---

۳. محاسبه مقادیر نمودار ون

مناطق نمودار ون برای سه مجموعه F, T, M را شماره‌گذاری می‌کنیم:

1. $F \cap T \cap M$
2. $F \cap T \cap M^c $
3. $ F \cap T^c \cap M $
4. $F \cap T^c \cap M^c $
5. $ F^c \cap T \cap M $
6. $F^c \cap T \cap M^c $
7. $ F^c \cap T^c \cap M $
8. $ F^c \cap T^c \cap M^c $

---

مقادیر معلوم:

· $ x_1 = |F \cap T \cap M| = 5 $ · $x_2 = |F \cap T \cap M^c| = 0$ (طبق شرط ۴) · $x_3 = |F \cap T^c \cap M| = 2 $ (طبق شرط ۳) · $x_5 = |F^c \cap T \cap M| = 1 (چون |T \cap M| = 6 و x_1 = 5 پس x_5 = 1 )$

---

محاسبه
$x_4$ :

$ |F| = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 15 5 + 0 + 2 + x_4 = 15 x_4 = 8 $

---

محاسبه $ x_6$ :

$|T| = x_1 + x_2 + x_5 + x_6 = 10 5 + 0 + 1 + x_6 = 10 x_6 = 4 $

---

محاسبه $ x_7$ :

$|M| = x_1 + x_3 + x_5 + x_7 = 11 5 + 2 + 1 + x_7 = 11 x_7 = 3 $

---

محاسبه $ x_8 $:

$ |S| = 30 = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 + x_8 30 = 5 + 0 + 2 + 8 + 1 + 4 + 3 + x_8 30 = 23 + x_8 x_8 = 7 $

---

۴. خلاصه مناطق:

$\begin{aligned} &F \cap T \cap M: 5 \\ &F \cap T \cap M^c: 0 \\ &F \cap T^c \cap M: 2 \\ &F \cap T^c \cap M^c: 8 \\ &F^c \cap T \cap M: 1 \\ &F^c \cap T \cap M^c: 4 \\ &F^c \cap T^c \cap M: 3 \\ &F^c \cap T^c \cap M^c: 7 \end{aligned}$

---

۵. نمودار ون

اگر نمودار ون را به صورت سه دایره F, T, M رسم کنیم:

· داخل

$ F \cap T \cap M$ : عدد 5

· $F \cap T $ فقط همین 5 است (قسمت $ M^c $ ندارد). · $F \cap M \cap T^c$ : عدد 2

· $F \cap T^c \cap M^c $: عدد 8

· $ T \cap M \cap F^c $: عدد 1

· $T \cap M^c \cap F^c $: عدد 4

· $ M \cap F^c \cap T^c $: عدد 3

· خارج هر سه دایره: عدد 7

---

بررسی جمع‌ها:

$F: 5 + 0 + 2 + 8 = 15 \quad \checkmark$

$T: 5 + 0 + 1 + 4 = 10 \quad \checkmark$

$M: 5 + 2 + 1 + 3 = 11 \quad \checkmark$

$\text{کل}: 5+0+2+8+1+4+3+7 = 30 \quad \checkmark$

---

اگر بخواهید نمودار ون را روی کاغذ بکشید، سه دایره با برچسب F, T, M بکشید و اعداد بالا را در مناطق مربوطه بنویسید.