Question

در صورتی که داشته باشیم:

$f(x)= a^{x} + \frac{1}{ a^{x} } $

و

$f( \frac{2}{3} )=1+2 \sqrt{2} $

مطلوب است محاسبه:

$f( \frac{3}{2} )=?$

Answer 1

در این استدلال فرض بر اینه (در کجای استدلال استفاده میشه؟) که $a$ حقیقی و مثبت است.:

$$f(\frac{2}{3})=1+2\sqrt{2} \Rightarrow a^\frac{2}{3}+a^\frac{-2}{3}=1+2\sqrt{2}\Rightarrow (a^\frac{1}{3})^2+(a^\frac{-1}{3})^2+2=3+2\sqrt{2}$$

$$\Rightarrow (a^\frac{1}{3}+a^\frac{-1}{3})^2=(1+\sqrt{2})^2\Rightarrow a^\frac{1}{3}+a^\frac{-1}{3}=1+\sqrt{2}$$

$$\Rightarrow (a^\frac{1}{3}+a^\frac{-1}{3})^3=(1+\sqrt{2})^3$$

$$ \Rightarrow (a^ \frac{1}{3})^3+(a^ \frac{-1}{3})^3+3a^ \frac{1}{3}a^ \frac{-1}{3} (a^ \frac{1}{3}+a^ \frac{-1}{3})=7+5\sqrt{2}$$

$$ \Rightarrow a+a^{-1}+3+3\sqrt{2}=7+5\sqrt{2}$$

$$\Rightarrow a+a^{-1}=4+2\sqrt{2}$$

$$(a^\frac{1}{2})^2+(a^\frac{-1}{2})^2+2=6+2\sqrt{2}$$

$$ \Rightarrow (a^\frac{1}{2}+a^\frac{-1}{2})^2=6+2\sqrt{2}$$

$$ \Rightarrow a^\frac{1}{2}+a^\frac{-1}{2}=\sqrt{6+2\sqrt{2}}$$

$$ \Rightarrow (a^\frac{1}{2}+a^\frac{-1}{2})^3=(\sqrt{6+2\sqrt{2}})^3$$

$$ \Rightarrow a^\frac{3}{2}+a^\frac{-3}{2}+3a^\frac{1}{2}.a^\frac{-1}{2}(a^\frac{1}{2}+a^\frac{-1}{2})=\sqrt{6+2\sqrt{2}}^3$$

$$ \Rightarrow f(\frac{3}{2})=\sqrt{6+2\sqrt{2}}^3-3\sqrt{6+2\sqrt{2}}$$

$\Box$

Comments

$( a^{ \frac{2}{3} } + \frac{1}{ a^{  \frac{2}{3} } } )^3= (1+2 \sqrt{2} )^{3} \Rightarrow  a^{2 } +3( a^{ \frac{2}{3} } + \frac{1}{ a^{ \frac{2}{3} } } )+ \frac{1}{ a^{2} }= a^{2} + \frac{1}{ a^{2} }+ 3+6 \sqrt{2}=25+22 \sqrt{2}    \Rightarrow  a^{2} + \frac{1}{ a^{2} } =22+16 \sqrt{2}  \Rightarrow  (a+ \frac{1}{a} )^{2} = (4+2 \sqrt{2} )^{2} \Rightarrow a+2+ \frac{1}{a}   =6+2 \sqrt{2}  \Rightarrow  ( \sqrt{a}+ \frac{1}{ \sqrt{a} }  )^{2} =6+2 \sqrt{2}  \Rightarrow  \sqrt{a} + \frac{1}{ \sqrt{a} }= \sqrt{6+2 \sqrt{2} }  \Rightarrow  ( a^{ \frac{1}{2} } + \frac{1}{ a^{ \frac{1}{2} } } )^{3}  =  \sqrt{6+2 \sqrt{2} } ^{3} \Rightarrow  a^{ \frac{3}{2} } + 3 \sqrt{6+2 \sqrt{2} } + \frac{1}{ a^{ \frac{3}{2} } } =(6+2 \sqrt{2} )( \sqrt{6+2 \sqrt{2} } )$

طرفین را به توان سه می‌رسانیم و مانند مرحله قبل داریم:

$f( \frac{3}{2} )= \sqrt{150+106 \sqrt{2} } $