فرض کنید $h$ طول ارتفاع وارد بر $ED$ از $B$ و $O$ محل تلاقی $AC$ و $BD$ باشد و:
$$a:= \overline{BC} = \overline{BE},b= \overline{AC} = \overline{DE},c:= \overline{AB} = \overline{DB} x:= \overline{EC} ,y:= \overline{CD}$$
واضح است که $a^2+c^2=b^2,x+y=b$ و از قضیۀ استوارت داریم:
$$b(a^2+xy)=c^2x+a^2y$$
$$ \Rightarrow x= \frac{2a^2}{b}$$
$$ \Rightarrow \frac{27}{2s+74} = \frac{S_{BCE}}{2S_{BDE}} = \frac{\frac{1}{2}hx}{2 \times \frac{1}{2} hb}= \frac{x}{2b}= \frac{a^2}{b^2}(*)$$
حالا توجه کنید که دو مثلث $OAB$ و $OCD$ متشابهاند (چرا؟) پس داریم:
$$\frac{s+27}{s}= \frac{c^2}{y^2} \Rightarrow y^2=\frac{sc^2}{s+27}(**)$$
از طرفی دیگر:
$$ \frac{s+37}{s+10}=\frac{S_{BDE}}{S_{BDC}}=\frac{\frac{1}{2}hb}{\frac{1}{2}hy}=\frac{b}{y}$$
$$ \Rightarrow y^2=\frac{(s+10)^2b^2}{(s+37)^2}(***)$$
حالا از رابطه $(**)$ و $(***)$ داریم:
$$ \frac{(s+10)^2}{(s+37)^2}. \frac{s+27}{s}=\frac{c^2}{b^2}$$
و از روابط $(*)$ و رابطه اخیر داریم:
$$\frac{(s+10)^2}{(s+37)^2}. \frac{s+27}{s}+\frac{27}{2s+74}= \frac{c^2}{b^2}+\frac{a^2}{b^2} = \frac{c^2+a^2}{b^2}=\frac{b^2}{b^2}=1$$
$$ \Rightarrow \frac{(s+10)^2}{(s+37)^2}. \frac{s+27}{s}+\frac{27}{2s+74}=1$$
$$ \Rightarrow s=8(?)$$
$\Box$
