ابتدا باید فرم کلی ماتریس $ A_{I} $ را بدونیم که به صورت زیر است.
$$A_{I}= \begin{bmatrix}a_{1}^{(1,2)} & a_{2}^{(1,2)} & \ldots & a_{s}^{(1,2)}\\a_{1}^{(1,3)} & a_{2}^{(1,3)} & \ldots & a_{s}^{(1,3)}\\a_{1}^{(2,3)} & a_{2}^{(2,3)} & \ldots & a_{s}^{(2,3)}\\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\a_{1}^{(s-1,s)} & a_{2}^{(s-1,s)} & \ldots & a_{s}^{(s-1,s)}\end{bmatrix} $$
همانطو که مشاهده می شود توان عناصر هر سطر مقداری ثابت است لذا هر سطر را می توان به صورت $(i,j) $ برچسب گذاری کرد.
دقت کنید برای نوشتن توان $(i,j) $ ابتدا قرار میدهیم $j=2 $ سپس تمام حالت های ممکن برای
$ i $ که کمتر از$ j $ است را می یابیم که فقط داریم:$(1,2)$
سپس قرار میدهیم $j=3 $ که برای $i $ دو حالت $ 1,2 $ راداریم لذا داریم
$ (1,3) $ سپس $ (2,3)$
سپس قرار میدهیم $j=4 $ که برای $i $ سه حالت $ 1,2 ,3$ راداریم لذا داریم
$ (1,4) $ سپس $ (2,4)$ سپس $ (3,4)$
و همین روند را ادامه میدهیم.
اما درمورد مثال در مثال داریم:
$$A_{I}= \begin{bmatrix} x_{1} & - x_{4} & 0&0\\ x_{1} x_{2} & 0& - x_{4} x_{5} & 0\\0 & x_{2} &- x_{5} & 0\\ x_{1} x_{2} & 0 & 0& - x_{4} x_{6} \\0 & x_{2} & 0 & - x_{6}\\0 & 0 & x_{5} & - x_{6} \end{bmatrix} $$
وماتریس هیلبرت برچ آن برابر است با:
$$ \begin{bmatrix}x_{1} & - x_{4} & 0&0\\ 0 & x_{2} &- x_{5} & 0\\ 0 & 0 & x_{5} & - x_{6}\end{bmatrix} $$
برای بدست آوردن$ b_{1} $ توجه کنید که اول سطر ماتریس هیلبرت برچ همان اولین سطر ماتریس $ A_{I} $ با برچسب (توان)$(1,2) $ است لذا طبق فرمول داریم:
$$ b_{1} =deg( \frac{ u_{1} u_{2} }{gcd( u_{1} , u_{2} )})=deg( x_{1} x_{4} x_{5} x_{6}) =4 $$
برای بدست آوردن$ b_{2} $ توجه کنید که دومین سطر ماتریس هیلبرت برچ همان سومین سطر ماتریس $ A_{I} $ با برچسب (توان)$(2,3) $ است لذا طبق فرمول داریم:
$$ b_{2} =deg( \frac{ u_{2} u_{3} }{gcd( u_{2} , u_{3} )})=deg( x_{1} x_{2} x_{5} x_{6}) =4 $$
برای بدست آوردن$ b_{3} $ توجه کنید که سومین سطر ماتریس هیلبرت برچ همان پنجمین سطر ماتریس $ A_{I} $ با برچسب (توان)$(3,4) $ است لذا طبق فرمول داریم:
$$ b_{2} =deg( \frac{ u_{3} u_{4} }{gcd( u_{3} , u_{4} )})=deg( x_{1} x_{2} x_{5} x_{6} )=4 $$
