توجه کنید که $ K[ \bigtriangleup^{ \vee } ]= \frac{S}{I_{ \bigtriangleup^{ \vee } }} $ وهمچنین رابطه ی زیر بین
$reg I $ و $reg \frac{S}{I} $ برقرار است :
$$reg \frac{S}{I} =reg I -1$$
لذا داریم:
$$regK[ \bigtriangleup^{ \vee } ]=reg \frac{S}{I_{ \bigtriangleup^{ \vee } }}=reg I_{ \bigtriangleup^{ \vee } } -1$$
برای اثبات $$reg \frac{S}{I} =reg I -1$$ دقت کنید که
$$ \beta _{i,j} (\frac{S}{I} )=\beta _{i-1,j} (I)$$
وهمچنین
$$reg I=max\{ j: \beta _{i,i+j} (I) \neq 0 \ \ for \ some \ i \}$$
حال فرض کنید که $s=reg \frac{S}{I}$ باشد لذا یک $r$ وجود دارد که $ \beta _{r,r+s} (\frac{S}{I} ) \neq 0$ لذا $\beta _{r-1,r+s} (I ) \neq 0 $که آن را می توان به صورت
$$ \beta _{ \underbrace{r-1}_{i} ,\underbrace{r-1}_{i}+\underbrace{s+1}_{j}} (I ) $$
نوشت پس به سادگی میتوان دید که $reg I =s+1$ و حکم ثابت شد.
