الف)
$$\{1,2,x\} \oplus \{1,0,-1\}$$
اعضای حاصل از $1$ و $2$ برابر است با $\{0,1,2,3\}$ که خودش ۴ عضو دارد. پس عضوهای $x+1$ و $x$ و $x-1$ باید همگی داخل این مجموعه باشند:
$$x \in \{1, 2\}$$
ب)
$$\{1,x\} \otimes \{x,1\} = \{1, x, x^2\}$$
اگر $x=1$ باشد، صورت و مخرج هر دو ۱ می‌شوند و جواب درست است.
اگر $x \neq 1$ باشد، مخرج ۲ است، پس مجموعه‌ی $\{1,x,x^2\}$ باید دو عضو داشته باشد:
$$x^2 = 1 \Rightarrow x = -1 \qquad , \qquad x^2 = x \Rightarrow x = 0$$
$$x \in \{-1, 0, 1\}$$
ج)
$$\{x,2,4\} \oplus \{0,x\} = \{x, 2x, 2, x+2, 4, x+4\}$$
$$\{-x,x,0,1,-1\} \otimes \{-x\} = \{x^2, -x^2, 0, -x, x\}$$
عدد ۰ در مجموعه‌ی سمت راست هست، پس باید در مجموعه‌ی سمت چپ هم باشد:
$$x = 0 \ \text{ یا } \ x = -2 \ \text{ یا } \ x = -4$$
با آزمایش:
$x=0$ جواب نیست، چون سمت راست می‌شود $\{0\}$.
$x=-4$ جواب نیست، چون سمت راست شامل ۱۶ می‌شود.
$x=-2$ جواب است، چون هر دو طرف می‌شوند $\{-4,-2,0,2,4\}$.
$$x = -2$$
