اگر $f:X\to Y$ یک تابع و $\{S_\gamma\}_{\gamma\in\Gamma}$ یک گردایه از زیرمجموعه های $Y$ باشد در اینصورت:
در مورد اولی:
$$\begin{align}x\in f^{-1}(\cup_{\gamma\in\Gamma}S_\gamma)&\iff f(x)\in \cup_{\gamma\in\Gamma}S_\gamma\\
&\iff \exists\gamma\in\Gamma:f(x)\in S_\gamma\\
&\iff \exists \gamma\in\Gamma:x\in f^{-1}(S_\gamma)\\
&\iff x\in\cup_{\gamma\in\Gamma}f^{-1}(S_\gamma)\end{align}$$
برای دومی:
$$\begin{align}x\in f^{-1}(\cap_{\gamma\in\Gamma}S_\gamma)&\iff f(x)\in \cap_{\gamma\in\Gamma}S_\gamma\\
&\iff \forall \gamma\in\Gamma:f(x)\in S_\gamma\\
&\iff \forall \gamma\in\Gamma:x\in f^{-1}(S_\gamma)\\
&\iff x\in\cap_{\gamma\in\Gamma}f^{-1}(S_\gamma)\end{align}$$
و آخری:
$$\begin{align}x\in f^{-1}(S^c)&\iff f(x)\in S^c\\
&\iff f(x)\notin S\\
&\iff x\notin f^{-1}(S)\\
&\iff x\in (f^{-1}(S))^c \end{align}$$
