لم زرن بیان میکند که اگر هر زنجیر دلخواه دارای کران بالا در خود مجموعه باشد آنگاه مجموعه مرتب جزئی دارای عنصر ماکسیمال است.
پس ابتدا زنجیر دلخواه $ A_{1} , A_{2} ,... ,A_{n} $ را که در آن $A_{i} \subseteq P(A) $ است در نظر میگیریم(توجه کنید از آنجایی که $A $ متناهی است لذا $ P(A) $ متناهی است پس زنجیر نمیتواند نامتناهی باشد به همین دلیل زنجیر را متناهی در نظر گرفته ایم)
نشان می دهیم عنصر $ \bigcup_{i=1}^n A_{i} $ یک کران بالا برای این زنجیر است.
1- برای هر عنصر از زنجیر به وضوح داریم:$A_{i} \subseteq \bigcup_{i=1}^n A_{i} $
2- این عنصر عضوی از مجموعه است یعنی $ \bigcup_{i=1}^n A_{i} \subseteq P(A) $ است چون اگر فرض کنیم که $x \in \bigcup_{i=1}^n A_{i} $ آنگاه یک $j $ وجود دارد که $x \in A_{j} $ اما
$A_{j} \subseteq P(A) $ است لذا $x \in P(A) $
پس طبق لم زرن $(P(A), \subseteq )$ دارای عنصر ماکسیمال است.
