قسمتی از اثبات قضیه ی 10.1.3

Question

چرا دردو جمله ای$t_{ \alpha } t_{ \beta } - t_{ \alpha \cup \beta } t_{ \alpha \cap \beta }$ تکجمله ای $initial$ برابر $t_{ \alpha } t_{ \beta }$ است.

Answer 1

در ترتیبی که برای مقایسه متغییرها داریم (متغییرها به صورت $t_{ \alpha }$هستند) داریم $t_{ \alpha } < t_{ \beta }$ اگر داشته باشیم $\alpha \subseteq \beta$ پس از آنجایی که $\alpha \cap \beta \subseteq \alpha$ و $\alpha \cap \beta \subseteq \beta$ داریم: $t_{ \alpha \cap \beta } < t_{ \alpha }$ و $t_{ \alpha \cap \beta } < t_{ \beta }$

از آنجایی که از ترتیب $< _{rev}$ القایی توسط این ترتیب استفاده می کنیم و طبق $< _{rev}$ اگر در مقایسه دو تک جمله ای یکی از تک جمله ای ها (طبق ترتیب مقایسه متغییرها )دارای متغییر کوچکتر باشد کل تکجمله ای کوچکتر خواهد بود و در مورد دو تکجمله ای $t_{ \alpha } t_{ \beta }$ و $t_{ \alpha \cap \beta } t_{ \alpha \cup \beta }$ ، تکجمله ای
$t_{ \alpha \cap \beta } t_{ \alpha \cup \beta }$ دارای متغییر کوچکتر(نسبت به تمام متغییرهای ظاهر شده) است لذا این تک جمله ای تحت $< _{rev}$ کوچکتر است پس انیش برابر است با: $t_{ \alpha } t_{ \beta }$