برای حل سوال و برای راحتی جای $ x $و$ z $ را عوض میکنیم لذا مخروط $ z^{2} =4 x^{2} + 4y^{2} $و سهمی گونه $x= z^{2} + y^{2} $ را داریم از رابطه ی $ \int \int_D \frac{ \mid \bigtriangledown g \mid }{ \mid g_{z} \mid } $ مساحت را به دست می آوریم که در اینجا $0=g(x,y,z)=4 x^{2} + 4y^{2} -z^{2}$ پس
$g_{z} = -2z $ و $ \bigtriangledown g=(2x,2y,-2z) $ یعنی:
$ \mid \bigtriangledown g \mid = \sqrt{4 x^{2} + 4y^{2}+4z^{2}} = \sqrt{ z^{2} + 4z^{2}} = \sqrt{5} \mid z \mid $
پس با جایگذاری داریم:
$$\int \int_D \frac{ \mid \bigtriangledown g \mid }{ \mid g_{z} \mid }dA = \int \int_D \frac{ \sqrt{5} \mid z \mid}{ \mid -2z \mid} dA= \frac{\sqrt{5}}{2} \int \int_DdA $$
کافیست مساحت ناحیه $ D $ رابیابیم که برای بدست آوردن آن $ z^{2} =4 x^{2} + 4y^{2} $ را در معادله ی دوم یعنی $x= z^{2} + y^{2} $ جایگذاری می کنیم داریم:
$x= 4 x^{2} + 4y^{2} + y^{2} =4 x^{2} + 5y^{2} \Rightarrow ({x- \frac{1}{8}})^{2} + 5y^{2} = \frac{1}{16} $ که معادله ی یک بیضی است که مساحت آن برابر است با $\pi \frac{1}{4} \times \frac{1}{4\sqrt{5}} $ که با جایگذاری مساحت خواسته شده برابر است با:
$$\frac{\sqrt{5}}{2} \times \frac{\pi}{16\sqrt{5}} = \frac{\pi}{32} $$
